Справедливо ли тождество?

[willer540]

Какими способами (методами) можно подтвердить (опровергнуть) справедливость тождества

$$\frac{\sqrt5-1}4=\cos{\frac{2\pi}{5}}$$

[ИСН]

Последовательностью удвоений и сложений добраться до известных углов.

-- Вт, 2013-02-12, 19:59 --

например.

[Shadow]

или заметить связь между удвоенного и утроенного угла.

[Cash]

$\cos{\frac{2\pi}{5}}$ - корень многочлена с целыми коэффициентами 5-й степени. $\frac{\sqrt5-1}4$ - корень многочлена 2-й степени. Поделить первый на второй.

-- Вт фев 12, 2013 22:07:57 --

Правда, потом еще корни первого многочлена локализовывать нужно. Но нам же нужно побольше способов, не обязательно самых простых
Хотя там всё просто - все 5 корней легко оцениваются. К тому же - два кратных..

[TR63]

Тождество справедливо. Полное решение (алгебраическое и геометрическое) есть в книге "Избранные главы анализа и высшей алгебры", Фаддеев Д.К.
Надо найти первообразный корень пятой степени из единицы, т. е. решить уравнение
$x^5-1=0$.
Затем сравнить его с соответствующей формулой.

[Shadow]

Ну, каждый за свое, конечно, но если обозначить $t=\dfrac{2\pi}{5}$ будет справедливо равенство $\sin{2t}=-\sin{3t}$