2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Справедливо ли тождество?
Сообщение12.02.2013, 18:53 
Какими способами (методами) можно подтвердить (опровергнуть) справедливость тождества
$$\frac{\sqrt5-1}4=\cos{\frac{2\pi}{5}}$$

 
 
 
 Re: Справедливо ли тождество?
Сообщение12.02.2013, 18:59 
Аватара пользователя
Последовательностью удвоений и сложений добраться до известных углов.

-- Вт, 2013-02-12, 19:59 --

например.

 
 
 
 Re: Справедливо ли тождество?
Сообщение12.02.2013, 20:14 
или заметить связь между удвоенного и утроенного угла.

 
 
 
 Re: Справедливо ли тождество?
Сообщение12.02.2013, 21:02 
$\cos{\frac{2\pi}{5}}$ - корень многочлена с целыми коэффициентами 5-й степени. $\frac{\sqrt5-1}4$ - корень многочлена 2-й степени. Поделить первый на второй.

-- Вт фев 12, 2013 22:07:57 --

Правда, потом еще корни первого многочлена локализовывать нужно. Но нам же нужно побольше способов, не обязательно самых простых :-)
Хотя там всё просто - все 5 корней легко оцениваются. К тому же - два кратных..

 
 
 
 Re: Справедливо ли тождество?
Сообщение12.02.2013, 21:57 
Тождество справедливо. Полное решение (алгебраическое и геометрическое) есть в книге "Избранные главы анализа и высшей алгебры", Фаддеев Д.К.
Надо найти первообразный корень пятой степени из единицы, т. е. решить уравнение
$x^5-1=0$.
Затем сравнить его с соответствующей формулой.

 
 
 
 Re: Справедливо ли тождество?
Сообщение12.02.2013, 22:39 
Ну, каждый за свое, конечно, но если обозначить $t=\dfrac{2\pi}{5}$ будет справедливо равенство $\sin{2t}=-\sin{3t}$

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group