Построение отрезка, равного отношению двух отрезков

[Nikolai Moskvitin]

Пусть, например, дан прямоугольный треугольник, его катет и гипотенуза. Обязательно ли должен быть задан единичный отрезок, чтобы построить косинус угла, прилежащего к данному катету? По методу построения четвёртого пропорционального получается так:$ \frac{\cos{\alpha}}{1}=\frac{a}{c}$ (где $a$ и $c$- длины данных катета и гипотенузы). Соответственно строятся длины $c$ и $a$ на одном луче произвольного угла, единичный отрезок на другом, так чтобы концы отрезка длиной $c$ и единичного отрезка выходили из вершины взятого угла. Ну и дальше- обобщённая теорема Фалеса. Вопрос: как обойтись без единичного отрезка? Возможно ли это?
ps для меня актуально: а если это построение приходится проводить даже дважды (и в одной задаче!)?

[gris]

Предположим, что есть способ построения отношения двух отрезков без задания единичного (любого с известной длиной). Тогда имея произвольный отрезок, мы по нему и его копии можем построить единичный отрезок.
Это рассуждение приводит к дальнейшим соображениям.

[Nikolai Moskvitin]

Получается, нельзя! По крайней мере, в общем случае.

[_Ivana]

Определитесь, что имеете в виду под "построить косинус угла". Отрезок, длина которого будет равна какому-то безразмерному числу? И сами ответите на свой вопрос.

ЗЫ в этой же связи можно подумать над "построением площади треугольника", например.

[gris]

Если дан отрезок единичной длины, то можно построить отрезок, длина которого численно равна площади заданного треугольника или синусу заданного угла. Но вот без единичного отрезка такие построения невозможны.

[_Ivana]

Именно эту мысль мне и хотелось чтобы сгенерировал ТС, а вы это сделали за него :)

[gris]

Он её высказал в первом сообщении. Даже указал способ, как строить, если есть единичный отрезок.