Аналитическое продолжение ряда

[denkaner]

Известно, что ряд $f(z) = \sum_{n=0}^\infty z^n$ есть разложение функции $\frac{1}{1-z}$ в точке $z=0$. Таким образом, хотя ряд сходится только внутри единичной окружности, $f(z)$ имеет аналитическое продолжение в любую область, не содержащую ноль.

Можно ли аналогично построить аналитическое продолжение для ряда вида $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$, где $a_n$ - действительная, сходящаяся к некоторому числу последовательность? Достаточно продолжения в некоторую окрестность единичной окружности (без окрестности $z=0$, конечно).
Или, может, наоборот - есть контрпримеры? Какие книги можно посмотреть касательно этого вопроса?

[ИСН]

Смотря что за функция. Если на границе круга сходимости у нас всего одна или несколько особых точек, мы можем их обойти и продолжить функцию наружу. Если граница вся утыкана этими точками, то мы заперты внутри и продолжить не можем.

[CptPwnage]

Бывают ряды у которых на границе круга сходимости все точки особые, а вообще на границе всегда есть точка в которую не продолжается

[denkaner]

Если предполагать у последовательности $a_n$ ещё и ограниченную вариацию, то получилось показать, что полюс на окружности есть лишь в точке $z=1$, ибо ряды $\sum_{n=0} a_n cos(n\varphi)$ и $\sum_{n=0} a_n sin(n\varphi)$ для таких последовательностей сходятся при $\varphi \neq 2\pi k$. Точнее они сходятся если $a_n \rightarrow 0$, но можно просто вычесть предел, умноженный на $\frac{1}{1-z}$.
Жаль что это для меня сильно большое ограничение (его или непонятно как проверять, или оно вообще не выполнено). Но не похоже что можно что-то ещё сделать этим путем.

[ex-math]

А радиус сходимости ряда, полученного вычитанием предела коэффициентов, умноженного на $\frac1{1-z}$, остается единичным? Если нет, то вот оно искомое аналитическое продолжение. Если да, то на границе круга должна быть еще одна особенность. Посмотрите книгу Титчмарша "Теория функций". Там можно кое-что найти. Например, п.7.2.3 поможет выяснить является ли данная точка окружности особой, п.7.3.1 свяжет сходимость ряда на границе с аналитичностью функции, а задача 21 к гл.4 дает продолжение в виде интегральной формулы, записанной через некий ряд, включающий $a_n$.

Если Вы хотите какой-то реальной помощи в этом вопросе, Вам надо явно выписать ваши $a_n$. В противном случае задача недоопределена и слишком широко поставлена.

[namhel]

Сдается мне, что ряд
\sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n} z^{2^n}
не продолжается за пределы единичного круга. При этом коэффициенты ряда стремятся к нулю и ряд сходится в единичном круге.

[Aritaborian]

Ваш ряд вообще нигде не сходится: в первом члене деление на ноль ;-D

[namhel]

Aritaborian в сообщении #753943 писал(а):

Ваш ряд вообще нигде не сходится: в первом члене деление на ноль ;-D

Согласен, суммировать нужно с единицы. =)