Решить систему сравнений

[yk2ru]

$1<x\leqslant y\leqslant z$

$\left\{ \begin{array}[c]{rc} x+y= 0\mod(z+1)\\y+z=0\mod(x+1)\\z+x=0\mod(y+1)\end{array}\right$

Найти все решения. Сочинил сам.

[Shadow]

По условие $x+y=z+1$ (понятно почему)
Отчего $y=2x-3, z=3x-4, x \le 3$
Получается $5x-7=k(x+1), k \in [1,4]$
Решения:
$(3,3,5);(5,7,11);(11,19,29)$

(Оффтоп)

Хорошую задачу сочинили

[yk2ru]

$x \le 3$ что там делает?

[Руст]

ваши условия означают, что число $a=x+y+z+1$ делится на все числа $x+1,y+1,z+1$.
Так как $x\le z,y\le z$ отношение $a$ к $z+1$ может быть только 2, т.е. $x+y=z+1$.
Так как $x>1$, $y<z$ но $y\ge \frac{z+1}{2}$, поэтому $2<\frac{a}{y+1}<4$, т.е. $a=3(y+1)$ или $x+z=2y+2.
Отсюда получается $z=3x-4,y=3x-3$ и $x+1|5x-3\to x+1|8\to x=3,7$
$x=3,y=3,z=5$, $x=7,y=11,z=17$.

[yk2ru]

2 различающихся решения уже. И сколько же всего решений различных троек чисел $(x, y, z)$?
Но $28$ не делится на $8$ всё же.

[nnosipov]

yk2ru в сообщении #682080 писал(а):

$x \le 3$ что там делает?

Опечатка. А сама задача --- полезная и содержательная. То, что она несложно решается --- так такие задачи тоже нужны. Но я бы её дал в такой формулировке: найти все тройки натуральных чисел, больших единицы, сумма любых двух из которых делится на третье, увеличенное на единицу.

[Shadow]

У Руст досадная опечатка $y=3x-3$ Правильно $y=2x-3$
Расписываю как отличница:
$x+y=k_1(z+1)$ При указанных условиях (согласен с nnosipov, пусть решающий сам их сделает) максимум левой части $2z$, откуда $k_1=1$. Новое значение $z=x+y-1$ ставим в сравнение: $z+x \equiv 0 \pmod y$.
$2x+y-1=k_3(y+1)$. По вышеуказанным соображениям $k_3<3$. При $k_3=1$ получаем $x=1$, что противоречит условию.
Остается $k_3=2, y=2x-3, z=3x-4$

Эти значения x,y подставляем в второе уравнение:
$5x-7=k_2(x+1), 1<k_2<5$
Перебираем $k_2$, получаем все решения.

(Оффтоп)

$y=2x-3, y \ge x$ естественно, что $x \ge 3$ Перепутал \le и \ge

[Руст]

Да ошибся. $y=2x-3$ - тут была опечатка, а дальше $x+1|5x-7\to x+1|12\t0 x=2,3,5,11$
Соответственно $(x,y,z)=(2,1,2),(3,3,5),(5,7,11),(11,19,29)$.

[Shadow]

Да. Но по условие $1<x\le y$ так что первое решение отпадает. Иначе подходят $(1,n,n)$