Наименьшая возможная сумма цифр

[Ktina]

а) Пусть

$$n=(p^2+2)^2-9(p^2-7)$$

, где $p$ -- простое число.
Какую наименьшую сумму десятичных цифр может иметь число $n$ и для каких простых $p$ она достигается?

б) Пусть

$$n=(k^2+2)^2-9(k^2-7)$$

, где $k$ -- целое число.
Какую наименьшую сумму десятичных цифр может иметь число $n$ и для каких целых $k$ она достигается?

[Aritaborian]

a) $4$ при $p=3$.

[msg2000]

Последняя цифра n 3 или 7, поэтому k=3.

[Ktina]

msg2000 в сообщении #682025 писал(а):

Последняя цифра n 3 или 7, поэтому k=3.

При $k=\pm 3$ достигается наименьшая сумма цифр.
Но только ли при $k=\pm 3$?

[msg2000]

Решаем уравнение $(m+2)^2-9(m-7)=10^r+3$ в натуральных числах.
Число $4\times10^r-231$ должно быть квадратом. Для четного $r$ несложно показать, что решение одно, $m=9,r=2$.Для нечетного $r$ число $4\times10^r-231$ при делении на $11$ дает остаток $7$, но квадраты такого остатка не дают.