Доказательство неравенства со средними интегральными

[Podli]

Имеем мы шар $B$. Имеется функция $u \in L^p, 1 \leq p$, определенная на этом шаре. Не могу никак сформулировать доказательство следующего неравенства:
$\int_{B}\left|u_{B}\right|^pd\mu \leq c\int_{B}\left|u\right|^pd\mu$.
Здесь $u_B$ - среднее интегральное функции u по шару B:
$u_{B}=\mathop{\int\mspace{-19.0 mu-}}_{B}u\,d\mu=\frac{1}{\mu(B)}\int\limits_{B} u\,d\mu$
Радиус шара и его мера могут быть сколь угодно малыми.

[Oleg Zubelevich]

вроде бы $c=1$

[Podli]

Проблема со степенью p.
В голову сразу пришло следующее рассуждение:
$\int_{B}\left|u_{B}\right|^pd\mu =\int_{B}\frac{1}{(\mu B)^p}\left(\int_{B}\left|u\right|d\mu\right)^p d\mu = \frac{1}{(\mu B)^{p-1}}\left(\int_{B}\left|u\right|d\mu\right)^p \leq \frac{1}{(\mu B)^{p-1}} \int_{B}\left|u\right|^p d\mu$
Последнее при p большем 1 и сильно малом шарике имеет сколь угодно большой множитель перед интегралом...

[Oleg Zubelevich]

topic68253.html

[Podli]

Возможно я чего-то не понимаю... Но у меня имеются сомнения в правомочности использования неравенства Гёльдера в данном случае, потому как у нас напрочь отсутствует конструкция $(...)^{1/p}$

[Oleg Zubelevich]

$|u_B|\le \frac{1}{\mu B}(\mu B)^{1-1/p}\|u\|_p$

[Podli]

Oleg Zubelevich, большое спасибо. Теперь всё стало на свои места.