Интересна детсадовская геометрическая интерпретация формулы.
Кладём кубик в угол системы координат. Следующий ряд состоит из одного кубика и столбика из трёх кубиков. Потом ряд из трех столбиков:

и

кубиков. Наконец ряд из

столбиков:

кубика. Каждый

-тый ряд состоит из

кубиков. Видно, что вся конструкция представляет собой ступенчатую пирамиду, вписанную в координатный угол. Объём пирамиды в кубиках как раз равен искомой сумме квадратов.
Осторожно проведём теперь секущую плоскость, отступив на

и

кубика по высоте и длине, так, чтобы отсечённые части кубиков ровно укладывались в пустые места под плоскостью. Получится уже сплошная треугольная пирамида с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами в

, объём которой равен объёму ступенчатой пирамида. А объём пирамиды мы находить умеем.