2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебраическая задача на док-во, какое решение лучше?
Сообщение06.02.2013, 21:25 
Аватара пользователя


01/12/11
7125
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырех из оставшихся.
(Всеросс, региональный этап)

Здесь два официальных решения.
А вот моё:

(Оффтоп)

Упорядочим все 10 чисел по возрастанию: $$a_1, a_2,\dots , a_{10}$$
Так как все они положительны и попарно различны, имеем $a_8a_9a_{10}>a_2a_3a_4$
Если среди чисел $a_2, a_3, a_4$ есть число, большее или равное 1, выкинем его, от этого произведение не увеличится и задача решена. Если же $a_2, a_3, a_4<1$, добавим к ним $a_1$, от этого произведение уменьшится и задача решена.

Какое из трёх решений симпатичнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая задача на док-во, какое решение лучше?
Сообщение06.02.2013, 22:34 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
Мне нравится первое решение... наверное потому, что оно мне первое пришло на ум.

(Оффтоп)

Мне кажется, что ваше решение то же самое, что и решение №2, только у вас по возрастанию, а на сайте - по убыванию... и у вас объяснено, почему решение верное, а там нужно догадываться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая задача на док-во, какое решение лучше?
Сообщение06.02.2013, 22:49 
Аватара пользователя


01/12/11
7125
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Tanechka, мне второе больше всех понравилось, оно самое короткое и доказывает более общее утверждение, чем требуется в задаче :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая задача на док-во, какое решение лучше?
Сообщение06.02.2013, 23:43 


26/05/12
108
Минск, Беларусь

(Оффтоп)

На вкус и цвет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая задача на док-во, какое решение лучше?
Сообщение07.02.2013, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11686
Казань
Второе решение более естественное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group