производная поля в направлении нормали

[marselus]

Я не много не понимаю, почему производная скалярного поля в направлении нормали к поверхности уровня в этой точке является наибольшей. Кроме того, неясно, и то, почему нормаль направлена обязательно в сторону возрастания функции поля. Далее не понятно и то, почему вектор градиент имеет координаты, равные частным производным функции поля по каждой из осей. А еще более неясным является понятие антиградиента.
Если вас не затрудним объясните мне это пожалуйста как можно доступней, или укажите литературу, где об этом можно почитать [/math]

[Lyoha]

Градиент скалярной функции - не вектор, а линейный функционал, т.е. элемент сопряженного пространства.

$$f(x_0+x) = f(x_0) + A(x_0)x + o(\|x\|)$$

В евклидовом пространстве линейный функционал представляется ввиде скалярного произведения на некоторый вектор самого пространства $A(x_0)x=<a(x_0),x>$ который и называют в данном случае градиентом (но и здесь надо заметить, что при преобразовании координат градиент преобразуется не как вектор, а как ковектор).

Собственно, отсюда вытекают ответы на все вопросы.