уравнение (1+y)^3 - y^3 =A^3 не имеет решения в целых числах

[gennady]

1. Рассмотрим уравнение:

$(1+y)^3-y^3=A^3, \qquad y>A>3. \quad (1)$

Если $(y, A)$ целые числа, то $A$ нечётное число, по определению. Итак, $A=2m+1, \quad m\geq 1$. Если $A=3$, то $y$ иррациональное число. Следовательно, $A>3$ .
Итак, покажем, что уравнение (1) не имеет решения в целых числах $(y, A)$.
Запишем (1) в виде:

$(1+v/3)^3-1=u, \quad (2)$

$\qquad v=3/y, \qquad u=(A/y)^3. \quad (3)$

Для уравнения (2) справедливо условие [1]:

$0<v<u< \sqrt[3]{u} <1 \quad (4)$

Представим (2) в виде:

$1+v/3= \sqrt[3]{1+u}, \qquad 0<u<1 \quad (5)$

Для равенства (5) имеем соотношение:

$3 \ln(1+v/3)= \ln(1+u) \quad (6)$

Правую часть (5) представим в виде разложения в степенной ряд:

$$\sqrt [3]{1+u}=1+ \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \cdot B_{k} \cdot \frac{u^k}{k} \quad (7)$$

$$B_1=1,\quad B_k<1,\quad B_{k}= \frac{2\cdot 5\cdots (3k-4)}{3^{k-1}\cdot (k-1)!},\quad k\geq2 \quad (8)$$

Воспользуемся разложением:

$$\ln(1+x)= \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \cdot \frac{x^k}{k}, \qquad 0<x<1 \quad (9)$$

С учётом (9), представим (7) в виде:

$$\sqrt[3]{1+u}=1+ \frac{1}{3} \ln(1+u)+\frac{1}{3} \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k} \cdot(1- B_{k}) \cdot \frac{u^k}{k} \quad (10)$$

С учётом (10), уравнение (5) есть:

$$\ln(1+u)=v- \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\cdot (1-B_k)\cdot \frac{u^k}{k}\quad (11)$$

С учётом (6), уравнение (11) представим в виде:

$$(1+v/3)-\ln(1+v/3)=1+\frac{1}{3}\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k} \cdot(1- B_{k}) \cdot \frac{u^k}{k}\quad (12)$$

Итак, уравнение (1), алгебраического вида, сводится к трансцендентному уравнению (12).
С учётом (9), левую часть уравнения (12) представим в виде степенного ряда:

$$(1+v/3)-\ln(1+v/3)=1+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k} \cdot(v/3)^{k} \cdot \frac{1}{k}\quad (13)$$

С учётом (13), трансцендентное уравнение (12) примет вид:

$$\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k} \cdot \Bigl( (v/3)^{k}-(1-B_k)\cdot \frac{u^k}{3} \Bigr)\cdot \frac{1}{k}=0\quad (14)$$

Введем обозначение:

$R_{k}=(1-B_k)\cdot 3^{k-1} \qquad$ (15)

Из (8) и (15), имеем соотношения: $B_1=1, \quad B_{2}=2/3, \quad R_1=0, \quad R_2=1,$

$\frac{B_{k+1}}{B_k}=\frac{3k-1}{3k},\qquad 1 \geq B_{k}>B_{k+1}, \quad k \geq 1, \quad (16)$

$\frac{R_{k+1}}{R_k}=3 \Bigl (\frac{1-B_{k+1}}{1-B_k} \Bigr),\qquad R_{k+1}>R_{k} \geq 1, \quad k \geq 2 \quad (17)$

С учётом (15), уравнение (14) есть:

$$\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k} \cdot b_{k}=0, \quad (18)$$

$$\quad b_{k}=\frac{1}{k \cdot 3^k}\cdot \Bigl (R_{k} \cdot u^{k}-v^{k} \Bigr), \quad b_{k}>0 \quad (19)$$

Равенство (18) представим в виде:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl (b_{2k}-b_{2k+1} \Bigr)=0 \quad (20)$$

Итак, имеем равенство:

$$b_{2k}=b_{2k+1}, \quad k \geq 1 \quad (21)$$

С учётом (19), равенство (21) имеет вид:

$$ \Bigl (R_{2k}-\frac{2ku}{3(2k+1)}\cdot R_{2k+1} \Bigr)\cdot u^{2k}= \Bigl (1-\frac{2kv}{3(2k+1)} \Bigr)\cdot v^{2k}, \quad k \geq 1 \quad (22)$$

$$ \Bigl (1-B_{2k} \Bigr)R_{2k+1}=3 \Bigl (1-B_{2k+1} \Bigr)R_{2k},\quad R_{2k+1}>R_{2k} \geq 1, \quad k \geq 1, \quad (23)$$

$$6kB_{2k+1}=(6k-1)B_{2k}, \quad 1>B_{2k}>B_{2k+1}, \quad k \geq 1 \quad (24)$$

Для правой части (22), справедливо условие:

$2kv<3(2k+1), \quad 0<v<1, \quad k \geq 1 \quad (25)$

Согласно (25), имеем условие для левой части равенства (22):

$2kuR_{2k+1}<3(2k+1)R_{2k}, \quad 0<u<1, \quad k \geq 1 \quad (26)$

Рассмотрим неравенство:

$2kR_{2k+1} \leq 3(2k+1)R_{2k}, \quad k \geq 1 \quad (27)$

С учётом (23) и (24), неравенство (27) есть:

$B_{2k} \leq 3/4, \quad k \geq 1 \quad (28)$

Согласно (16), при условии $k=1$, имеем: $B_2=2/3$. Так как $B_{2k}>B_{2k+1}$, то условие (28) выполняется для всех $k \geq 1$. Итак, для уравнения (22), справедливы неравенства (25) и (26).
Равенство (22) запишем в виде:

$$\frac{v}{u}=\sqrt[2k]{D_k}, \quad k \geq 1\quad (29)$$

$$D_{k}=\frac{3(2k+1)R_{2k}-2kuR_{2k+1}}{3(2k+1)-2kv} \quad (30)$$

С учётом (3), левая часть (29) равна:

$\frac{v}{u}=(3/y) \cdot (y/A)^3 \quad (31)$

Согласно (31), для целых чисел $(y, A)$, левая часть (29) это правильная дробь, а правая часть (29) является радикалом степени $2k$ из рационального числа $D_k$. Однако, для выполнения равенства (29), радикал степени $2k$ должен быть рациональным числом для всех значений числа $k \geq 1$. Данное требование, для бесконечной последовательности $k=1, 2, 3, ...$, фактически невыполнимо. Другими словами, радикал в правой части (29), хотя бы для одного числа $k \geq 1$, является иррациональной величиной.
При условии $k=1$, выражение (29) равно:

$(9-2v) \cdot v^2=(9-8u) \cdot u^2 \quad (29)$

С учётом (3), уравнение (32) представим в виде:

$8A^9-9y^{3} \cdot A^6+81y^{7} \cdot \Bigl (1- \frac{2}{3y} \Bigr)=0 \quad (33)$

Уравнение (33) не имеет решения в целых числах $(y, A)$, [1]. Следовательно, для целых чисел $(y, A)$, равенство (29) невыполнимо, правая часть (29) - иррациональная величина. Итак, уравнение (1) не имеет решения в целых числах $(y, A)$.
1. Овчинников Г. И. Доказательство теоремы Ферма.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам: (сейчас допишу).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 02 фев 2013, 19:09 --

gennady в сообщении #679221 писал(а):

1. Рассмотрим уравнение:

Зачем рассмотрим? Зачем весь этот поток словоформул?
Извольте в самом начале темы ясно описать предмет дальнейшего обсуждения. Если, например, этот текст представляет из себя доказательство некоторого утверждения (я не читал и не знаю, так ли это), то сформулируйте сначала само это утверждение. Если это просто чем-то интересное уравнение --- обоснуйте. Формулы для решения кубических уравнений есть везде.
Пусть читателю будет понятно, о чём речь, интересно ему дальнейшее, или нет.