2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Квадратные уравнения в кольцах
Сообщение26.03.2007, 14:34 
Аватара пользователя
Пусть дано квадравтное уравнение Ax^2+Bx+C=0 (mod n), n=p*q, p,q - простые числа
Необходимо решить данное уравнение, используя китайскую теорему об остатках.

Решаем систему из двух уравнений: Ax^2+Bx+C=0 (mod p), Ax^2+Bx+C=0 (mod q), находим x(1,1), x(1,2), x(2,1), x(2,2) - корни соответствующих уравнений.

Вопрос: как отсюда найти корни исходного уравнения? Может, есть какая формула, как в случае китайской теоремы для многочлена первой степени?

 
 
 
 
Сообщение26.03.2007, 14:45 
Надо просто четыре раза применить китайскую теорему об остатках к парам $(x_{11}, x_{21})$, $(x_{11}, x_{22})$, $(x_{12}, x_{21})$, $(x_{12}, x_{22})$.

 
 
 
 
Сообщение26.03.2007, 14:58 
Всё обстоит не так. Находите корни для каждого простого делителя n. Их количество может быть 0, если D=B^2-4AC не является квадратичным вычетом по модулю простого числа (делителя n). Тогда нет корней и у исходного уравнения. Имеется единственный корень в случае, когда D делится на простое число р, А не делится на р, или А делится на р, но B не делится. Их количество бесконечно, когда все А,В,С делятся на р. Два когда А не делится на р, а дискриминант является квадратичным вычетом (не ноль по модулю р).
При вычислении по модулю n по каждой паре корней по модулю р и q, по китайской теореме находите корень по модулю n.

 
 
 
 
Сообщение26.03.2007, 15:35 
Руст писал(а):
Всё обстоит не так.
Ну почему не так? Случай конечной характеристики для квадратного уравнения ничем принципиально не отличается от характеристики 0 - вы просто переформулировали разбор случаев из условий на коэффициенты приведенного уравнения в условия на коэффициенты исходного. А второй абзац вообще полностью совпадает с моим сообщением :)

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group