Упрощение дроби с радикалами

[Rasmussen]

Приветствую всех.
Решил полистать неплохую книгу "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры" и наткнулся на такое задание:
$ \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4} $
Начал упрощать знаменатель и доупрощался до такого выражения:
$ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4=\sqrt{3}+4+\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+2\cdot\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{3}+4+\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)=1+2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3) $
И на этом застрял. Притянуть какие либо формулы сокращённого умножения у меня не вышло.
В учебнике дан такой ответ: $\sqrt{2}-1$, однако в решении он не особо полезен.
Благодарю за внимание.

[Алексей К.]

Ну давайте тупо сделаем: умножим Ч и З на $1{\color{magenta}-}2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3) $
Притянем заодно кой-какую формулу сокращённого умножения. От одного радикала избавимся.
Потом ещё раз похожий трюк проделать надо будет.

[Rasmussen]

Мысль понял, но что-то опять идёт совсем не так.
Домножим:
$ \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+4)\cdot(1-2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3))}{(1+2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3))\cdot(1-2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3))} $
Далее разложим знаменатель:
$ (1+2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3))\cdot(1-2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3))=1-2^2\cdot(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{3}+3)^2=1-8\cdot(\sqrt{3}+3)^2=1-8\cdot(3+6\cdot\sqrt{3}+9)=1-24-48\cdot\sqrt{3}-72=-95-48\cdot\sqrt{3} $
Ну вот и выходит:
$ \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+4)\cdot(1-2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3))}{-(95+48\cdot\sqrt{3})} $
Домножать на $ 95-48\cdot\sqrt{3} $ - шаг несколько сомнительный, потому как неоправданно большие числа получаются в знаменателе.
Даже как-то стыдно за себя - пример-то вроде несложный совсем.

[Алексей К.]

Rasmussen в сообщении #678823 писал(а):

Домножать на $ 95-48\cdot\sqrt{3} $ - шаг несколько сомнительный

Ничего сомнительного. Самый тупой и очевидный путь к правильному ответу.

В том, что ответ приведен правильный, я убедился ещё вчера, это было совсем просто.
А значит, какие бы большие и муторные числа у Вас в промежуточных результатах ни образовались --- все они посокращаются и поуничножаются. Вам остаётся понаблюдать, как это будет происходить.

Здесь вот над чем стоит поработать: как бы вещь очевидная и несомненная для Вас оказывается сомнительной.
Здесь Вы, похоже, чего-то не понимаете, и это непонимание было бы полезно ликвидировать.

[nnosipov]

Можно попробовать сначала избавиться от $\sqrt{3}$, а потом от $\sqrt{2}$.

[vmg]

Знаменатель $(\sqrt2+\sqrt3+2)+(2+\sqrt6+2\sqrt2)$.

[Praded]

vmg

[nnosipov]

Это, конечно, замечательно, но фокусы ничему не учат. Да и в задачниках бывают опечатки: представим, что в знаменателе дроби вместо $+4$ написано $-4$.

[Cash]

Rasmussen в сообщении #678823 писал(а):

Мысль понял, но что-то опять идёт совсем не так.

Не так пошло вот здесь

Цитата:

$\sqrt{3}+4+\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)=1+2\cdot\sqrt{2}(\sqrt{3}+3)$

[Praded]

nnosipov в сообщении #679115 писал(а):

но фокусы ничему не учат

Фокусы учат понимать психологию составителя задачи.