Интеграл от floor function

[devgen]

Не знаю даже, за что взяться. Помогите, пожалуйста.
$\int_{0}^{\infty} [x]e^{-x}$
[] -- наименьшее не превосходящее

[Cash]

$\int_{0}^{\infty} [x]e^{-x}dx = \int_{0}^{1} [x]e^{-x}dx+\int_{1}^{2} [x]e^{-x}dx+\int_{2}^{3} [x]e^{-x}dx+ \cdots$

[devgen]

Я думал над этим, ряд сходится, но я не знаю к чему.
$\sum_{x=0}^{\infty}x \cdot e^{-x}\cdot(1-e^{-1})$

[ИСН]

О геометрической прогрессии слышали когда-нибудь, например? Полагаю, что да.
А вот такой ряд: $\sum\limits_1^\infty {n\over2^n}$ - ы?

[devgen]

$x (\frac{1}{1-x})'$ ?

[SpBTimes]

Нет, да и можно без производных.
$\frac{n}{2^n} = \frac{2n - n}{2^n} = \frac{n - 1}{2^{n-1}} - \frac{n}{2^n} + \frac{1}{2^{n-1}}$

[devgen]

$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3...\\ (\frac{1}{1-x})'=1+2x+3x^2+...\\ x(\frac{1}{1-x})'=x+2x^2+3x^3+...\\ $

Это в точности ряд ИСН при $x=\frac{1}{2}$ и мой при $x=\frac{1}{e}$. В чём вы видите ошибку?

И мне было бы интересно узнать, как ваш способ позволяет узнать сумму ряда.

Спасибо