Не могу найти интегрирующие множители для ДУ

[Genrih]

Юрий

а ваш последний интерирующий множитель $\frac{1}{xy(4+x^2y)}$ не подходит как-то
Я его (уравнение само)все хотел свернуть в полный дифференициал да крутился вокруг да около $\ln{x^2y}$

[Гость]

К сожалению не могу отвечать мгновенно, т.к. не имею на то возможностей. Поэтому придется объединить несколько разных тем в один ответ.

Цитата:

а ваш последний интерирующий множитель не подходит как-то

Из приведенного интегрирующего множителя легко получить первый интеграл (я только добавляю коды к Maple программке, приведенной раньше)
>J :=firint(mu*ODE2);

$J := 3/4*ln(4+x^2y)+1/4*ln(y)-1/2*ln(x)+_C1 = 0;$

Можете избавиться от логарифмов(если хотите), поскольку произвольная функция от первого интеграла является первым интегралом. Отсюда легко следует требуемый полный дифференциал.

Цитата:

А тем, кто как я не шарит в прогр..

Мне кажется, что мы еще очень слабо представляем себе значение компьютерной алгебры. Пусть пока еще она находится на начальном этапе развития (тем лучше для нас - мы можем принять свое посильное участие в ее развитии), но даже если это просто "калькулятор", он позволяет за мгновения проделать столько рутинной работы, что остается время подумать о тонкостях математики. Программирование, например, в Maple крайне простое и удобное (нужно лишь запомнить или записать с десяток часто используемых команд и Вы почти Эйлер по скорости расчетов).

Цитата:

PS Вообще-то это все было к тому, что можно попробовать решить без применения инт. множ.

Конечно, нахождение интегрирующих множителей для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка не всегда актуальная задача, поскольку здесь как нигде существует разнообразие методов решений. Но для обыкновенных нелинейных ДУ более высокого порядка количество известных методов заметно сужается, часто тем не менее метод интегрирующих множителей работает и здесь (я надеюсь, что в некотором смысле "метод интегрирующего множителя" применим к некоторым ДУ в ЧП). Правда, рутинных вычислений здесь существенно больше и без систем компьютерной алгебры разрешать такие вещи было бы тоскливо.
Для шутки и для демонстрации потенциала метода интегрирующих множителей я рассмотрел
(см. http://www.maplesoft.com/applications/a ... x?AID=1652 - там есть HTML версия, если у Вас нет Maple )
пример нетривиального ODE 1150-го порядка и нашел его частные решения (с 1149 произволными постоянными)...

Цитата:

Посему, конечно, и люди работают, и методы разрабатывают. И, для каких-то случаев (классов), полностью или частично решают задачу. Но общего решения нет. И, рискуя сказать чушь, добавлю, что в отличии от алгебаических уравнений, нет и критерия выразимости в замкнутой форме. Вот это я и имел в виду говоря о творчестве.

Здесь надо несколько раз оговориться, чтобы не навлечь на себя черное пятно, что ниже находится слишком наглое заявление, когда строгая теория еще недоделана и т.п. и т.д. Но я осмелюсь утверждать, что для очень широкого круга дифференциальных уравнений можно получить формальное явное точное решение в форме с "хронологической" операторной экспонентой. Более того, такого рода решения можно представлять очень многими способами, в том числе и без "хронологизации". Если данная задача имеет единственное решение (а это проще доказать, чем найти даже формальное решение), то все формы решения эквивалентны в математическом смысле (интерпретации могут быть совершенно разными). Преобразование таких решений в общеупотребительную форму совсем не просто. Простой способ - получение решений в форме рядов и самый простой из них - получение решений в виде ряда Тейлора

(см. работоспособную процедуру http://www.maplesoft.com/applications/a ... x?AID=1903 - во введении приведено точное формальное операторное решение для системы нелинейных ДУ в ЧП без коментариев и вывода, но там есть ссылки на препринты). Это может служить отпиской к

Цитата:

а как насчет решения нелинейных ур. в чп для других задач. В процессе разр.? Я занимаюсь нелинейными явлениями. Мне бы очень даже пригодилось...По делу..

С уважением к участникам,
Юрий

[незваный гость]

Отстал я от жизни .

Юрий писал(а):

Но я осмелюсь утверждать, что для очень широкого круга дифференциальных уравнений можно получить формальное явное точное решение в форме с "хронологической" операторной экспонентой.

Юрий, Вы не могли бы попытаться описать подобный класс? Я не сомневаюсь, что Вы правы, именно поэтому и интересно.

Юрий писал(а):

Преобразование таких решений в общеупотребительную форму совсем не просто.

Простите, мне термин "хронологическая" операторная экспонента не встречался. Не найдете ли Вы возможным объяснитье его, и почему надо преобразовывать в общеупотребительную форму?

[Гость]

Цитата:

Вы не могли бы попытаться описать подобный класс? Я не сомневаюсь, что Вы правы, именно поэтому и интересно.
.............
Простите, мне термин "хронологическая" операторная экспонента не встречался. Не найдете ли Вы возможным объяснитье его, и почему надо преобразовывать в общеупотребительную форму?

К сожалению, такая попытка требует более десятка страниц даже в конспективном виде. Поэтому лучше заглянуть на
http://arxiv.org/abs/math-ph/0409035
где приведено элементарное введение в "хронологическое исчисление". Я считаю основателем этого подхода знаменитого американского физика Дайсона (F. J. Dyson) (см. его очень известную статью http://prola.aps.org/abstract/PR/v75/i3/p486_1 ). В 70-80-е годы развитием этого подхода занимались Гамкрелидзе, Аграчев и др. См. (и ссылки там на другие работы)

A.A.Agrachev, R.V.Gamkrelidze, The exponential representation of flows and the chronological calculus. Matem. sbornik,1978, v.107.
A.A.Agrachev, S.A.Vakhrameev, Chronological series and Cauchy-Kovalevska theorem.Itogi nauki. VINITI. Problemy geometrii,1981, v.12

Преобразовывать в общеупотребительную форму нужно чтобы получить привычный (интегральный) вид решения. Впрочем, операторные выражения допускают многие операции над собой, например, дифференцирование. Поэтому быть может операторная форма иногда удобнее, чем классическая со специальными, например, функциями. Но это дело вкуса и практической пользы.

Юрий

[незваный гость]

Спасибо, Юрий

[LynxGAV]

Цитата:

А тем, кто как я не шарит в прогр..

Это я о себе и себе подобных. Себе в упрек. У меня любые "мониторы" хромают.

Юрий, дальше я буду молоть чепуху, но Вы меня пожалуйста выслушайте. Я тоже не слышала ни о какой "хронологизации". Из выше написанного поняла, что Ваш метод является альтернативным "моему" (мной используемому) классическому спец. функциями.
Задача Коши не единственная. (Например, попроще, задача без начальных условий. Или что-то посложнее.) Если я не понимаю самого "принципа Вашего метода" (что верно), но он может мне помочь, то напишите "читайте указанную литературу и разбирайтесь." А вдруг я прийду и скажу: "Ребята, а давайте делать вот так. Это удобно." Это было бы реальной пользой населению и отличное применение в науке, технике и сельском хозяйстве.

PS Eще один бред.
Ряд Тейлора - это только на малом промежутке?

[Гость]

Попытаюсь, чтобы не быть голословным, просто выписать решения систем нелинейных ДУ в операторной форме.

Для следующей системы обыкновенных ДУ

$\frac{du_i(t)}{dt}=f_i(t,u_1(t),\dots,u_n(t)),\qquad (i=1,\dots,n)$

общее точное формальное решение имеет вид

$u_i(t)={\bf T}_0\exp \{ \int_a^t d\tau\,\sum_{j=1}^n\,f_j(\tau,c_1,\dots,c_n)\frac{\partial}{\partial c_j}\} \,c_i$

где ${\bf T}_0$ -обратный хронологический оператор, $c_i$ -произвольные постоянные (см. определение и свойства хронологической экспоненты в http://arxiv.org/abs/math-ph/0409035 )

Это решение можно переписать в разных формах, например, без интеграла и "хронологизации" в следующем виде

$u_i(t)=[\exp \{ (t-a)\,\sum_{j=1}^n\,f_j(s,c_1,\dots,c_n)\frac{\partial}{\partial c_j}+\frac{\partial}{\partial s}\} \,c_i\,]|_{s=a}$

Доказательство того, что это действительно (формальное) решение проводится обычной подстановкой в систему ДУ и с использованием свойств хронологических экспонент.

Для следующей системы ДУ в ЧП

$\frac{\partial u_i(t,x)}{\partial t}=F_i(t,x,{\bf u},\dots,D_x^\alpha {\bf u}),\qquad (i=1,\dots,n)$

где
$ x=(x_1,\dots,x_n),\,{\bf u}=(u_1(t,x),\dots,u_n(t,x)),\, D_x^\alpha=D_{x_1}^{\alpha_1}\dots D_{x_n}^{\alpha_n},\, D_{x_i}=\frac{\partial }{\partial x_i}$
общее точное формальное решение имеет вид

$u_i(t,x)={\bf T}_0\exp \{ \int_a^t d\tau\,\int_{-\infty}^\infty d^n \zeta \sum_{j=1}^n\,F_j(\tau,\zeta,{\bf V}(\zeta),\dots,D_x^\alpha {\bf V}(\zeta))\frac{\delta}{\delta V_j(\zeta)}\} \,V_i(x)$

где ${\bf V}_(x)=(V_1(x),\dots ,V_n(x))$ -набор произвольных функций, $\frac{\delta}{\delta V_j(\zeta)}$ -вариационная производная.
Это решение также можно переписать в разных формах, например, без "хронологизации".

Юрий

[Гость]

Прошу прощения за описку в последней формуле предыдущего ответа. Формула должна быть в следующем виде

$u_i(t,x)={\bf T_0} \exp \{\int_a^t\,d\tau\,\int_{-\infty}^\infty\, d^n \zeta\,\sum_{j=1}^n F_j(\tau,\zeta,{\bf V}(\zeta),\dots,D_\zeta^\alpha {\bf V}(\zeta))\frac{\delta}{\delta V_j(\zeta)}\}\,V_i(x)$

Юрий

[LynxGAV]

Аха, после конкретных примеров что-то прояснилось. Только в таком виде мне все же оставлять нельзя, именно надо преобразовывать в другую форму. Теперь буду ознакамливаться с литературой. Спасибо! (и спасибо, что не пожалели времени)

[Юрий Косовцов]

Позвольте добавить несколько замечаний по поводу необходимости (желательность очевидна) преобразования операторных решений в общеупотребительную форму.

LynxGAV писал(а):

Аха, после конкретных примеров что-то прояснилось. Только в таком виде мне все же оставлять нельзя, именно надо преобразовывать в другую форму. Теперь буду ознакамливаться с литературой.

Давно известно, что решения даже простых внешне дифференциальных уравнений не могут быть представлены в классе, скажем, элементарных или алгебраических функций. И даже здесь мы не можем обойтись без неких "иероглифов", например, $\sin (x)$. Такое положение приводит, как правило, к двум вопросам
-как преобразовываются "иероглифы" при алгебраических, аналитических (и др.) операциях;
-как получить на конечном этапе расчетов "число" из "иероглифа".

Использование "иероглифов", например, $\sin (x)$ с развитой системой (в данном случае тригонометрических и/или экспоненциальных) тождеств для заданного множества "иероглифов" позволяет производить подстановки одних выражений в другие, упрощать выражения и т.п.

"Иероглифы" типа ${\bf T}\exp\{\int_a^t d\tau\,{\bf A}(\tau)\}$, где ${\bf A}(\tau)$ -некий линейный оператор, позволяют записать решения дифференциальных уравнений в чрезвычайно компактной форме. По аналогии с $\sin (x)$ мы можем ожидать выгоду от такой формы записи решения, если мы будем в состоянии производить подстановки одних выражений в другие, упрощать выражения и т.п. и на конечном этапе в состоянии получать "числа" из "иероглифов". Такая постановка вопроса определяет важность нахождения необходимой системы тождеств для "хронологических" операторных экспонент.

Я не думаю, что известны все важные тождества, но базовые из них есть следующие

${\bf T}\exp \{\int_a^t d\tau\,{\bf B}(\tau)\} \,{\bf T}\exp \{\int_a^t d\tau\,{\bf A}(\tau)\}=\notag \\ &={\bf T}\exp \{\int_a^t d\tau\,[{\bf B}(\tau)+{\bf T}\exp \{\int_a^\tau d\xi\,{\bf B}(\xi)\}\,{\bf A}\,(\tau){\bf T}_0\exp \{-\int_a^\tau d\xi\,{\bf B}(\xi)\}] \}$
и

${\bf T}\exp & \{\int_a^t d\tau\,[{\bf B}(\tau)+{\bf C}(\tau)]\} ={\bf T}\exp \{\int_a^t d\tau\,{\bf B}(\tau)\} \times \notag \\ & {\bf T}\exp \{\int_a^t d\tau\,{\bf T}_0\exp \{-\int_a^\tau d\xi\,{\bf B}(\xi)\}\,{\bf C}(\tau)\,{\bf T}\exp \{\int_a^\tau d\xi\,{\bf B}(\xi)\} \}$

которые вместе с формулами дифференцирования "хронологических" операторных экспонент (я не привожу их здесь из соображений экономии места) обеспечивают многие потребности необходимых преобразований. Важно, что в таком подходе мы можем часто оставаться в рамках точных решений вплоть до конечного результата.

Вторая часть проблемы - нахождение "числа" аналогична вычислению значения "обычной" функции с помощью рядов, например, рядов Тейлора для аналитических функций. "Хронологические" операторные экспоненты дают богатый выбор для представления их рядами различного рода.

Таким образом не всегда нужно спешить с преобразованием операторных решений в общеупотребительную форму. Так очень часто для некоего ДУ удается получить лишь неявное (и длинное) классическое решение в лучшем случае с набором арктангенсов и что делать дальше с этим решением совершенно непонятно.

[Genrih]

Вот себе - уравнение:
$(2xy^2+5x^3)dx + (10x^2y-3y^2)dy = 0$

найти интегрирующий множитель - первая идея, которая приходит в голову... Оказалось не так просто, а конкретнее - так и не нашел.
Получил лишь интересный случай: при $\mu = \frac{1}{xy^2}$ проверка условия независимости дает функции, равные абсолютно (различаются знаком)