Задачи о линейных преобразованиях

[Fafner]

Добрый день. Есть следуйщие задачи, по которым испытываю трудности.

1) Доказать, что множество многочленов степени не выше $n$ с комплексными коефициентами можна рассмотреть и как комплексное линейное пространство, и как действительно линейное пространство. В обоих случаях найти:
а) базис и размерность пространства;
б) координатный столбик многочлена $1-2i+(3+i)t-3t^2$ в найденом базисе (при $n=2$).

2) В линейном пространстве вещественных многочленов $p(x,y)$ от двух переменных $x, y$ преобразование $\varphi$ определяется формулою $\varphi(p(x,y))=p(x+a,y+b) (a \ \text и \ b - \text {фиксированые числа}$). Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование не выше второй степени, и посчитать его матрицу в базисе $1, x, y, x^2, xy, y^2$.

По 1 заданию. Как может линейное пространство быть одновременно над полем вещественных и комплексных чисел? (если комплексное - то включает и вещественное, но если вещественное - комплексные числа тогда не определены) Размерность пространства будет $n$. Базис будет, так понимаю, вида $a+ib, (a_1 +ib_1)t, (a_2+ib_2)t^2$, но как найти координатный столбец в таком базисе не могу догадатся. :(

По 2 заданию. Так понимаю, что вначале надо проверить линейность преобразования. Но как дальше записать правую часть $\varphi (p_1(x,y) + p_2(x,y))= ....$ не знаю.
$\varphi (\lambda p(x,y))=\lambda p(x+a,y+b)$ - так можна записать?
Как показать, что линейное преобразование будет не выше второй степени и как посчитать его матрицу в базисе $1, x, y, x^2, xy, y^2$ не знаю с какой стороны подойти.


Подскажите пожалуста, верны ли мысли в том что знаю хоть немного, и в каком направлении нужно двигатся(думать) в том, чего не знаю.

[apriv]

Fafner в сообщении #678326 писал(а):

По 1 заданию. Как может линейное пространство быть одновременно над полем вещественных и комплексных чисел? (если комплексное - то включает и вещественное, но если вещественное - комплексные числа тогда не определены)

Ну, вспоминайте, что такое линейное пространство, что в его определении зависит от основного поля.

[Fafner]

apriv в сообщении #678331 писал(а):

Fafner в сообщении #678326 писал(а):

По 1 заданию. Как может линейное пространство быть одновременно над полем вещественных и комплексных чисел? (если комплексное - то включает и вещественное, но если вещественное - комплексные числа тогда не определены)

Ну, вспоминайте, что такое линейное пространство, что в его определении зависит от основного поля.

Да, но в поле комплексных чисел включаются вещественные, но в поле вещественных чисел не включаются комплексные. Тоесть, если линейное пространство над полем комплексных чисел - то значит и над полем вещественных чисел. Но если линейное пространство только над полем вещественных чисел - то комплексным оно никак не будет ведь.

[apriv]

Fafner в сообщении #678338 писал(а):

Да, но в поле комплексных чисел включаются вещественные, но в поле вещественных чисел не включаются комплексные. Тоесть, если линейное пространство над полем комплексных чисел - то значит и над полем вещественных чисел. Но если линейное пространство только над полем вещественных чисел - то комплексным оно никак не будет ведь.

Конечно. Но у Вас-то в задаче речь идет о совершенно конкретном пространстве, а не о каком-то там произвольном. Вот про него и скажите, является ли оно пространством над тем и над другим.

[мат-ламер]

Fafner в сообщении #678326 писал(а):

Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование не выше второй степени

И как это понимать?

[Fafner]

apriv в сообщении #678354 писал(а):

Но у Вас-то в задаче речь идет о совершенно конкретном пространстве, а не о каком-то там произвольном. Вот про него и скажите, является ли оно пространством над тем и над другим.

Пусть $x \in V, y \in V, \lambda \in P$, где $V$ - пространство, $P$ - поле.
Тогда, что б $V$ было линейным пространством, необходимо что б $x+y \in V, \lambda x \in V$. Если $P \equiv \mathbb C$, то за определением можна считать пространство над полем комплексных чисел.
Если $P \equiv \mathbb R$, то можна написать $\lambda=a+ib, a \in \mathbb R, b \in \mathbb R$. Мнимую единицу присоединяем к елементам пространства $V$, получается у нас пространство $V'$. Тогда, наши пространства $V$ и $V'$ над полем $P$ могут быть линейными, и вслучае линейности - их обьединение тоже даст линейное пространство над полем $P$.
А это значит, что пространство многочленов с комплексными коэфициентами можна считать как комплексным линейным пространством, так и действительным, что и требовалось доказать.

Такое доказательство, будет верное?

-- 31.01.2013, 19:24 --

мат-ламер в сообщении #678470 писал(а):

Fafner в сообщении #678326 писал(а):

Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование не выше второй степени

И как это понимать?

Цитата:

Показать, что $\varphi$ определяет линейное преобразование пространства многочленов не выше второй степени

наверно так.