фишки на окружности

[VoloCh]

Из прошедшей олимпиады

На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих ее на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Расстояние между двумя точками - это длина меньшей дуги между этими точками. При каком наибольшем $n$ можно переставить фишки так, чтобы в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между двумя любыми фишками, изначально удаленными не более чем на $n$, увеличилось?

[Cash]

Обозначим отмеченные точки числами от $0$ до $2012$.
Отображение $k' = 2k \pmod {2013}$ увеличивает расстояние для точек, расстояние между которыми было не больше $670$.
В обратную сторону достаточно проследить за образами точек $0, 671, 1342$.