2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Однородная разностная схема
Сообщение29.01.2013, 03:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
Допустим, есть задача:
$ \dfrac{d^2u(x)}{dx^2}-au(x)=-b, x\in(0,1), x\neq\dfrac13$,
заданы еще какие-то условия на концах отрезка, пусть $u(0)=1, u'(1)=2$, $a=1.5$, $b=5$
плюс условие $\dfrac{du}{dx}\left(\dfrac13-0\right)=4\dfrac{du}{dx}\left(\dfrac13+0\right)$.
Как для такой задачи построить однородную разностную схему?

Я как-то не понял, как однородность (это ведь значит, что в разностной схеме нужно коэффициенты по одной формуле вычислять?) связать с этим разрывом производной, ведь должно же выполняться $y_{i}-y_{i-1}=4(y_{i+1}-y_{i})$ при некотором $i$.

Да и как вообще строить и потом исследовать на сходимость однородные разностные схемы? Хотя бы на простейших примерах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородная разностная схема
Сообщение29.01.2013, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4672
Нов-ск
Во внутренних точках единообразно аппроксимируйте уравение. А в граничных точка (которыми считайте точки $0, 1/3, 1$) аппроксимируте заданные там условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородная разностная схема
Сообщение29.01.2013, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
Что-то типа:
$y_{0}=1,$

$\dfrac{y_{i-1}-2y_{i}+y_{i+1}}{h^2}-ay_{i}=-b, i=1\,..\,N-1,$

$y_{N}-y_{N-1}=4(y_{N+1}-y_{N}),$

$\dfrac{y_{i-1}-2y_{i}+y_{i+1}}{h^2}-ay_{i}=-b, i=N+1\,..\,3N-1,$

$\dfrac{y_{3N}-y_{3N-1}}{h}=2?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородная разностная схема
Сообщение29.01.2013, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4672
Нов-ск
Да, типа этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородная разностная схема
Сообщение29.01.2013, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
А в чем в таком случае выражается однородность? В том что не на "концах" она однородна?

И еще, чтобы исследовать подобную схему на сходимость, нужно решение исходной задачи искать, или есть другие пути?

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородная разностная схема
Сообщение29.01.2013, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4672
Нов-ск
Nemiroff в сообщении #677719 писал(а):
А в чем в таком случае выражается однородность? В том что не на "концах" она однородна?
Это надо уточнять у того, кто просит однородность.

Сходимость попробуйте выяснить опытным путем (расчетами на последователоьности сеток и на задачах с точным решением)

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородная разностная схема
Сообщение30.01.2013, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
TOTAL в сообщении #677724 писал(а):
Сходимость попробуйте выяснить опытным путем (расчетами на последователоьности сеток и на задачах с точным решением)
Угу. Спасибо.
А если хочется порядок сходимости в такой схеме отыскать точно? Меня просто разрыв смущает.
В явном виде сравнивать точное решение на сетке и решение СЛАУ не хочется, а в теоремах, которые сходимость на аппроксимацию заменяют не пойму, можно ли забить на разрыв производной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group