Помогите разобраться

[Math_noob]

Читаю учебник по мат анализу от Киркинского, и тут в доказательстве свойства пределов ( а именно что предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов этих последовательностей, учитывая что последовательность стоящая в знаменателе напр $b_n$ и ее предел $b $ не равны нолю). Пропущу первую часть рассуждения - она мне понятна до места где автор говорит, что т.к. $b=limb_n$ , то $\exists n_0: \forall n>n_0 \quad |b_n| > \frac b 2 $ [в последнем сравнении $b$ стоит в модуле, как не бился он не ставился в конструкторе формул]. Собственно вопрос : справедлив ли вывод который сделал автор только из того что $b_n$ не бесконечно убывающая последовательность а $b$ ее предел? В голову пришел такой пример $b_n=\frac {2+n} {n} $ , так пределом такой последовательности будет являться единица, но не существует такого $n_0$ начиная с которого все члены последовательности будут меньше $\frac b 2$ т.к. последовательность убывает от 3 до 1. Помогите разрешить эту дилемму. Если автором был сделан закономерный вывод, пожалуйста объясните почему это так. Заранее большое спасибо за все ответы.

[Nemiroff]

Math_noob в сообщении #677116 писал(а):

не существует такого $n_0$ начиная с которого все члены последовательности будут меньше $\frac b 2$

Почему меньше? У вас же написано "больше".
Кстати, не $lim$, а $\lim$.

[Math_noob]

Nemiroff
Прощу прощения, был поздний час и я описался в конце.

[Math_noob]

Все, с утра все стало понятно . Что если задать эпсилон меньше чем $\frac b 2$ то все члены последовательности попадающие в эпсилон окрестность предела будут больше.