Цепи Маркова

[noooob]

Матрица переходов цепи Маркова с двумя состояниями определяется значениями p. Выпишите матрицу переходов за 2013 шагов в общем виде.

Формула: $p(n) = p^n$

тогда $P(2013) = \left (\begin{array}{cc} p_{11} p_{12} ... p_{1n} \\ p_{21} p_{22} ... p_{2n} \\ ............\\ p_{n1} p_{n2} ... p_{nm} \end{array} \right) ^{2013} $

- это и есть запись в общем виде, или я не прав?

[мат-ламер]

noooob в сообщении #676906 писал(а):

- это и есть запись в общем виде, или я не прав?

Правы, но хотелось бы по-конкретнее.

[noooob]

Что вы имеете в виду?

Вот матрица для второй степени:

$ \left (\begin{array}{cc} p_{11} p_{12} ... p_{1n} \\ p_{21} p_{22} ... p_{2n} \\ ... \\ p_{n1} p_{n2} ... p{nn} \end{array} \right) ^ 2 = \left (\begin{array}{cc} \sum\limits_{j=1}^n p_{1j}p_{j1} \sum\limits_{j=1}^n p_{1j}p_{j2} ... \sum\limits_{j=1}^n p_{1j}p_{jn} \\ \sum\limits_{j=1}^n p_{2j}p_{j1} \sum\limits_{j=1}^n p_{2j}p_{j2} ... \sum\limits_{j=1}^n p_{2j}p_{jn} \\ ... \\ \sum\limits_{j=1}^n p_{nj}p_{j1} \sum\limits_{j=1}^n p_{nj}p_{j2} ... \sum\limits_{j=1}^n p_{nj}p_{jn} \end{array} \right) $

Мне нужно составить подобную для 2013-й? Или мне искать в другом направлении?

[мат-ламер]

Какой размер матрицы перехода для цепи Маркова из двух состояний?

[noooob]

Кажется понял.

В каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из состояния i в состояние j).
Так как у меня два состояния, то размер матрицы 2x2.

$ p(2013) = \left (\begin{array}{cc} p_{11} p_{12} \\ p_{21} p_{22} \end{array} \right) ^ {2013} $

[мат-ламер]

Вероятности перехода $p_{ij}$ не произвольные числа. Они как-то связаны друг с другом. Смотрите первый пост. Там всего один параметр: $p$.

[noooob]

Раз дано только P.

Получается что $P_{12} = P_{21} = p ; P_{11} = P_{22} = p-1 $ тк сумма элементов строки равна единице

Тогда матрица примет вид: $P = \left(\begin{array}{cc} 1-p \quad p \\ p \quad 1-p \end{array}\right)$

Тогда ответ: $P(2013) = \left(\begin{array}{cc} 1-p \quad p \\ p \quad 1-p \end{array}\right)^{2013}$

[_hum_]

мат-ламер в сообщении #676939 писал(а):

noooob в сообщении #676906 писал(а):

- это и есть запись в общем виде, или я не прав?

Правы, но хотелось бы по-конкретнее.

Разве эту запись можно назвать искомой матрицей? Скорее, это выражение нужной матрицы через операцию возведения в степень.

И вообще, задача какая-то странная. Обычно, если речь об "общем виде", в обратную сторону ведут: типа, найдем в общем виде вероятности попадания за $n$ шагов из состояния $i$ в состояние $j$. Бла-Бла-Бла... Теперь взглянем на то, что нашли. Легко заметить, что это есть ни что иное, как соответствующий элемент матрицы $\mathbb{P}^n$.

[Yu_K]

Заграница нам поможет - помните 12 стульев? Тут немного осталось доработать и все получится аккуратненько.

[_hum_]

Аа. Не заметил, что матрица переходов все-таки более конкретно задана. Тогда, noooob, можете просто почитать, как вычислять степени матрицы. Например, тут: http://dxdy.ru/topic57381.html

[мат-ламер]

_hum_ в сообщении #677250 писал(а):

Тогда, noooob, можете просто почитать, как вычислять степени матрицы. Например, тут: topic57381.html

Причём ЖНФ не должно пугать, поскольку собственные значения разные.