Доказать сильную состоятельность оценки

[madd123]

Здравствуйте.

Есть две похожих задачки:

• Доказать сильную состоятельность оценки $\tilde \theta_n = \max(X_1,...,X_n)$ в модели $X_1,...,X_n \sim R(0,\theta)$.
• Доказать сильную состоятельность оценки $\tilde \theta_n = \min(X_1,...,X_n)$ в модели $X_1,...,X_n \sim R(\theta,1)$.

Первую пробовал решать так, исходя из УЗБЧ:
$\frac{\sum_{k=1}^nX_k}{n} \xrightarrow{\text{п.н.}} \frac{\theta}{2}$
$\frac{2\sum_{k=1}^nX_k}{n} \xrightarrow{\text{п.н.}} \theta$
$\frac{2\sum_{k=1}^nX_k}{n} - \theta \xrightarrow{\text{п.н.}} 0$
$2\max(X_1,...,X_n) - \theta \xrightarrow{\text{п.н.}} 0$

А должно быть, как я понимаю
$\max(X_1,...,X_n) - \theta \xrightarrow{\text{п.н.}} 0$

Помогите пожалуйста разобраться.
Большое спасибо заранее.

[_hum_]

Хм...А интересно, каким образом вы от УЗБЧ перешли к максимумам?

[madd123]

_hum_ в сообщении #675909 писал(а):

Хм...А интересно, каким образом вы от УЗБЧ перешли к максимумам?

Думал, что если какая-то последовательность сходится к нулю, то последовательность заведомо меньшая по модулю тоже сходится к нулю, может ошибался конечно, но как тогда это доказывать?

[--mS--]

И кто из них тут "заведомо меньший по модулю"?

Ну как-как. Сходимость по вероятности доказать, или слабую, что больше нравится. Потом монотонностью воспользоваться и определением сходимости п.н.

[madd123]

Сходимость по вероятности вроде доказал:

Пусть $\varepsilon > 0, \varphi_1 = \xi_1, \varphi_2 = \max(\xi_1, \xi_2), ..., \varphi_n = \max(\xi_1,...,\xi_n), \varphi_n \le \theta$
Тогда по определению сходимости по вероятности $P(|\varphi_n - \theta| > \varepsilon) = P(\theta - \varphi_n > \varepsilon) $
Найдем эту вероятность $P(\theta - \varphi_n > \varepsilon) = P(\varphi < \theta - \varepsilon) = F_{\varphi n}(\theta - \varepsilon)$
Для равномерного распределения на отрезке $[0; \theta]$:
$F_{\xi 1}(x)= \begin{cases} 0,&x < 0 \\ x,&0 \le x \le \theta \\ 1,&x > \theta \end{cases} $

$F_{\varphi n}(x) = (F_{\xi 1}(x))^n= \begin{cases} 0,&x < 0 \\ x^n,&0 \le x \le \theta \\ 1,&x > \theta \end{cases} $

$F_{\varphi n}(\theta - \varepsilon) = \begin{cases} 0,&\varepsilon > \theta \\ (\theta - \varepsilon)^n,&0 < \varepsilon \le \theta \end{cases} $
Видно, что $P(\varphi_n < \theta - \varepsilon) = F_{\varphi n}(\theta - \varepsilon) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$, откуда следует сходимость по вероятности.

А вот как из нее теперь получить п.н. сходимость, используя монотонность непонятно, не могли бы Вы показать?

[--mS--]

Неужто никаких теорем не было о сходимости п.н., которыми можно было бы воспользоваться???
Например, утверждение о том, что сходимость п.н. $\xi_n\to\xi$ равносильна сходимости по вероятности к нулю последовательности $\sup\limits_{k\geqslant n}|\xi_k-\xi|$? Можно посмотреть теорему, например, в учебнике А.Н.Ширяева "Вероятность" - теорема 1 глава II параграф 10 (стр.269) или (с неправильным доказательством) в учебнике А.А.Боровкова - теорема параграфа 1 гл. 6.

Но

$$\sup\limits_{k\geqslant n}|\varphi_k-\theta|=\sup\limits_{k\geqslant n}(\theta-\varphi_k) =(\theta-\varphi_n)$$

в силу монотонности, а сходимость этой штуки к нулю по вероятности уже доказана.

[madd123]

Понятно, спасибо большое.