2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать сильную состоятельность оценки
Сообщение24.01.2013, 23:58 


17/12/12
20
Здравствуйте.

Есть две похожих задачки:
  • Доказать сильную состоятельность оценки $\tilde \theta_n = \max(X_1,...,X_n)$ в модели $X_1,...,X_n \sim R(0,\theta)$.
  • Доказать сильную состоятельность оценки $\tilde \theta_n = \min(X_1,...,X_n)$ в модели $X_1,...,X_n \sim R(\theta,1)$.

Первую пробовал решать так, исходя из УЗБЧ:
$\frac{\sum_{k=1}^nX_k}{n} \xrightarrow{\text{п.н.}} \frac{\theta}{2}$
$\frac{2\sum_{k=1}^nX_k}{n} \xrightarrow{\text{п.н.}}  \theta$
$\frac{2\sum_{k=1}^nX_k}{n} - \theta \xrightarrow{\text{п.н.}} 0$
$2\max(X_1,...,X_n) - \theta \xrightarrow{\text{п.н.}} 0$

А должно быть, как я понимаю
$\max(X_1,...,X_n) - \theta \xrightarrow{\text{п.н.}} 0$

Помогите пожалуйста разобраться.
Большое спасибо заранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сильную состоятельность оценки
Сообщение25.01.2013, 00:05 


23/12/07
1763
Хм...А интересно, каким образом вы от УЗБЧ перешли к максимумам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сильную состоятельность оценки
Сообщение25.01.2013, 03:41 


17/12/12
20
_hum_ в сообщении #675909 писал(а):
Хм...А интересно, каким образом вы от УЗБЧ перешли к максимумам?

Думал, что если какая-то последовательность сходится к нулю, то последовательность заведомо меньшая по модулю тоже сходится к нулю, может ошибался конечно, но как тогда это доказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сильную состоятельность оценки
Сообщение25.01.2013, 06:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
И кто из них тут "заведомо меньший по модулю"?

Ну как-как. Сходимость по вероятности доказать, или слабую, что больше нравится. Потом монотонностью воспользоваться и определением сходимости п.н.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сильную состоятельность оценки
Сообщение27.01.2013, 17:14 


17/12/12
20
Сходимость по вероятности вроде доказал:

Пусть $\varepsilon > 0, \varphi_1 = \xi_1, \varphi_2 = \max(\xi_1, \xi_2), ..., \varphi_n = \max(\xi_1,...,\xi_n), \varphi_n \le \theta$
Тогда по определению сходимости по вероятности $P(|\varphi_n - \theta| > \varepsilon) = P(\theta - \varphi_n > \varepsilon) $
Найдем эту вероятность $P(\theta - \varphi_n > \varepsilon) = P(\varphi < \theta - \varepsilon) = F_{\varphi n}(\theta - \varepsilon)$
Для равномерного распределения на отрезке $[0; \theta]$:
$F_{\xi 1}(x)=
\begin{cases}
0,&x < 0 \\
x,&0 \le x \le \theta \\
1,&x > \theta
\end{cases}
$

$F_{\varphi n}(x) = (F_{\xi 1}(x))^n=
\begin{cases}
0,&x < 0 \\
x^n,&0 \le x \le \theta \\
1,&x > \theta
\end{cases}
$

$F_{\varphi n}(\theta - \varepsilon) =
\begin{cases}
0,&\varepsilon > \theta \\
(\theta - \varepsilon)^n,&0 < \varepsilon \le \theta
\end{cases}
$
Видно, что $P(\varphi_n < \theta - \varepsilon) = F_{\varphi n}(\theta - \varepsilon) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$, откуда следует сходимость по вероятности.


А вот как из нее теперь получить п.н. сходимость, используя монотонность непонятно, не могли бы Вы показать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сильную состоятельность оценки
Сообщение27.01.2013, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Неужто никаких теорем не было о сходимости п.н., которыми можно было бы воспользоваться???
Например, утверждение о том, что сходимость п.н. $\xi_n\to\xi$ равносильна сходимости по вероятности к нулю последовательности $\sup\limits_{k\geqslant n}|\xi_k-\xi|$? Можно посмотреть теорему, например, в учебнике А.Н.Ширяева "Вероятность" - теорема 1 глава II параграф 10 (стр.269) или (с неправильным доказательством) в учебнике А.А.Боровкова - теорема параграфа 1 гл. 6.

Но $$\sup\limits_{k\geqslant n}|\varphi_k-\theta|=\sup\limits_{k\geqslant n}(\theta-\varphi_k) =(\theta-\varphi_n)$$ в силу монотонности, а сходимость этой штуки к нулю по вероятности уже доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать сильную состоятельность оценки
Сообщение27.01.2013, 20:39 


17/12/12
20
Понятно, спасибо большое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group