Изометрическое вложение предкомпакта

[cresword]

Добрый день!

Ясно, что если $f$ отображает компакт $K$ в себя и $f$ $-$ изометрия, то $f$ сюръективно. Не получается придумать пример, показывающий, что компактность $K$ в этом утверждении нельзя ослабить до предкомпактности. Прошу помощи, даже не знаю, с чего начать.

[AGu]

Попробуйте реализовать следующие условия:

$Y$ -- метрический компакт,
$g:Y\to Y$ -- изометрия,
$y_1\in Y$, $g(y_2)=y_1$, ..., $g(y_{n+1})=y_n$, ...,
$X=Y\backslash\{y_1,\dots,y_n,\dots\}$,
$g(y_1)\in X$,
$f=g|_X$.

Тогда $X$ и $f$ будут искомыми.

[AGu]

Вчера я предложил первое, что пришло в голову. Сегодня, слегка поумнев, я предлагаю ровно ту же самую идею, но оформленную не шиворот-навыворот, как вчера, а по-человечески. Гораздо гуманнее будет выделить не максимальное, а минимальное инвариантное подмножество (т.е. саму орбиту, а не ее дополнение).

Итак, попробуйте реализовать следующие условия:

$Y$ -- метрический компакт,
$g:Y\to Y$ -- изометрия,
$x_0\in Y$, $x_1=g(x_0)$, ..., $x_{n+1}= g(x_n)$, ...,
$x_n\ne x_0$ для всех $n=1,2,\dots$

Тогда $X=\{x_0,x_1,\dots,x_n,\dots\}$ и $f=g|_X$ будут искомыми.

P.S. Кажись, на этот раз я переборщил с гуманностью: решение стало совсем уж очевидным, да? Эх...

[cresword]

AGu
К счастью или к сожалению, до Вашего ответа я уже придумал контрпример. Но все равно спасибо.