Задача по вариационному ряду случайных величин

[karatuk]

Вроде достаточно стандартная задача, но как решать - не понимаю..
Случайные величины $ \xi_1, \dots, \xi_k, \xi_{k+1} $ независимы и имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения. $ \xi_{(1)} \le \ldots \le \xi_{(k)} $ - вариационный ряд величин $ \xi_{1}, \ldots, \xi_{k} $. Надо найти $P(\xi_{k+1} \in [\xi_{(l)},\xi_{(l+1)}]), ~~ l = 1, \dots, k-1.$

Мысли по поводу решения: можно вычислить совместную плотность распределения $\xi_{(l)},\xi_{(l+1)}$ в т. $(x,y):$
$p(x,y) = C F(x)^{l-1}p(x)p(y)(1-F(y))^{k-l-1},$ где $F(x)$ и $p(x)$ - распределение и плотность исх. случайных величин, $C$ - коэффициент, можно посчитать. Вот только непонятно, что дальше с этой плотностью делать? Можно взять интеграл по области $[(0, \infty) (0, t)]$ и получить функцию распределения, только к ответу это как-то не приближает :)

Ну и из общих соображений (насколько их вообще можно применять) - фактически, у нас есть $k$ одинаковых отрезков (т.к. функция распределения одна и та же), и мы на эти отрезки кидаем еще одну точку. Тогда вероятность того, что эта точка попадет в отрезок $[l,l+1] = \frac{1}{k}$, как и в любой другой из этих отрезков. Т.е. ответ - $\frac{1}{k}$? Насколько так вообще можно рассуждать? Понятно, что это не решение - так, скорее прикидка...

[--mS--]

Чисто формально, в силу независимости $\xi_{k+1}$ от порядковых статистик, построенных по первым $k$ величинам, достаточно проинтегрировать плотность $p(z)$ величины $\xi_{k+1}$ по интервалу $(x,y)$, а потом по всем $x<y$ с весом $p(x,y)$:

$$\mathsf P(\xi_{k+1}\in [\xi_{(l)}, \,\xi_{(l+1)}]) =\mathsf E\bigl(\mathsf P(\xi_{k+1}\in [\xi_{(l)}, \,\xi_{(l+1)}]\,|\,\xi_{(l)}, \,\xi_{(l+1)})\bigr) = \iint\limits_{x<y} p(x,y) \mathsf P(\xi_{k+1}\in[x,\,y])\, dxdy.$$

Это формула последовательного усреднения, или полной вероятности. Здесь внешнее матожидание есть усреднение по $\xi_{(l)}$, $\xi_{(l+1)}$. Этот интеграл легко и просто берётся, если в процессе сделать замену $F(x)=s$, $F(y)=t$, $0<s<t<1$.

Что же до эвристических соображений: если распределение выборки отлично от равномерного, то, вообще говоря, распределения расстояний между последовательными статистиками не одинаково. Это легко понять: например, отрезки от левого конца прямой до первой порядковой статистики и от последней до правого, вообще говоря, просто бесконечны. К тому же их не $k$, но $k+1$.

Зато для вычисления таких вероятностей можно квантильным преобразованием перейти к выборке из равномерного распределения: $X_i = F(\xi_i)$. А для него уже распределения всех $k+1$ отрезков, на которые единичный отрезок делится порядковыми статистиками, одинаково. Тогда

$$\mathsf P(\xi_{k+1}\in [\xi_{(l)}, \,\xi_{(l+1)}]) = \mathsf P(X_{k+1}\in [X_{(l)}, \,X_{(l+1)}]) = $$ $$=\mathsf E\bigl(\mathsf P(X_{k+1}\in [X_{(l)}, \,X_{(l+1)}]\,|\,X_{(l)}, \,X_{(l+1)})\bigr) = \mathsf E(X_{(l+1)}-X_{(l)}) = \dfrac{1}{k+1}. $$