Теорема Бэра

[Ward]

Здравствуйте!

Полное метрическое пространство $R$ не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство: Предположим противное. Пусть $R=\cup \limits_{n=1}^{\infty}M_n,$ где каждое из множеств $M_n$ нигде не плотно. Пусть $S_0$ - некоторый замкнутый шар радиуса 1. Поскольку множество $M_1$, будучи нигде не плотным, не плотно в $S_0$, существует замкнутый шар $S_1$ радиуса меньше $1/2$, такой, что $S_1\subset S_0$ и $S_1\cap M_1=\varnothing$. Поскольку множество $M_2$ не плотно в $S_1$, по той же причине в шаре $S_1$ содержится замкнутый шар $S_2$ радиуса меньше $1/3$, для которого $S_2\cap M_2=\varnothing$ и т. д. Мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров $\{S_n\}$, радиусы которых стремятся к нулю, причем $S_n\cap M_n=\varnothing$. В силу известной теоремы пересечение $\cap \limits_{n=1}^{\infty}S_n$ содержит некоторую точку $x$. Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств $M_n$, следовательно, $x\notin\cup \limits_{n=1}^{\infty}M_n,$ т.е. $R\neq\cup \limits_{n=1}^{\infty}M_n$

Скажите пожалуйста я полностью почитал доказательство этой теоремы и мне все понятно за исключением одного момента. Откуда они взяли в конце, что $R\neq\cup \limits_{n=1}^{\infty}M_n?$

[xmaister]

$x\in R$
P.S. Это из Колмогорова-Фомина? Можно ещё сказать, что пересечение счетного числа открытых всюду плотных- всюду плотно. Это верно и для локально-компактных хаусдорфовых.

[Ward]

xmaister
можно подробнее пожалуйста.
А почему $x\in R$

[xmaister]

Потому что $R$- полное метрическое. Ваша последовательность вложенных замкнутых шаров имеет не пустое пересечение из-за полноты и $x\in\bigcap\limits_{i=0}^{\infty}S_i$.

[Ward]

xmaister
Это да! С Вами я согласен. Но вот понять концовку я никак не могу.
$R$ - действительно полное метрическое пространство. $S_i$ - последовательность замкнутых вложенных шаров с радиусами стремящимися к нулю. Значит, их пересечение непусто, т.е. $x\in \cap \limits_{i=0}^{\infty} S_i$
Но как понять, что $x\in R$?

[xmaister]

Мы хотим доказать, что никакое счетное множество нигде не плотных множеств не даст в объединение все $R$. Для этого мы рассматриваем произвольные счетный набор нигде не плотных множеств $\mathcal{M}=\{M_n|n\in\mathbb{N}\}$. Наша задача найти точку $x\in R$, такую что $x\not\in\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}M_i$ ибо множества состоящих из одних и тех же элемнтов совпадают (это одна из аксиом $ZFC$, той аксиоматикой теории множеств которой мы пользуемся). Иными словами $A=B\Leftrightarrow (x\in A\Leftrightarrow x\in B)$. Далее Вы указали способ нахождения такой точки $x\in R$, состряпав последовательность вложенных замкнтых шаров со стремящимся к нулю радиусу, которая вследствии полноты имеет не пустое пересечение.

[Ward]

xmaister
т.е. изначально мы ищем точку $x\in R$?

[xmaister]

Нет, изначально мы хотим доказать теорему Бэра. А для этого нужно найти точку $x\in R$, такую что...

(Оффтоп)

Вы слашали что-нибудь про теорию множеств? Если нет, то настоятельно рекомендую