Уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Решить уравнение

$$\text{НОК}(m, n)-\text{НОД}(m, n)=\frac{mn}{2013}$$

в натуральных числах $m$ и $n$.

[Руст]

Пусть $d=gcg(m,n)$, т.е. $m=m_1d,n=n_1d. (m_1,n_1)=1$.
Тогда приходим к уравнению $m_1n_1(2013-d)=3*11*61$.
Решений много
$d=2010,m_1=1,n_1=671$
$d=2010,m_1=11,n_1=61$
$d=2010,m_1=61,n_1=11$
$d=2010,m_1=671,n_1=1$
Аналогично 4 решения при $d=2013-11$ и 4 решения при $d=2013-61$.
Еще 6 решений при $d=2013-33,d=2013-183,2013-671$
и 8 решений при $d=2012$.
Всего 26 решений.