Уравнение плоскостей

[_hum_]

ewert в сообщении #674195 писал(а):

_hum_ в сообщении #674194 писал(а):

но идеологически...

А идеологически -- может, даже и проще. Здесь лишь одно логическое действие -- вот собственно выписать это равенство, а дальше тупо заменить модули плюсминусом. А там -- два: разобраться с нормалями и потом ещё найти решение системы.

Да зачем притягивать лишнюю сущность "расстояние" там, где достаточно обойтись "углами". Тем более, студент при этом упускает возможность приобрести навыки "манипулирования" плоскостями посредством нормальных векторов.

[ewert]

_hum_ в сообщении #674201 писал(а):

Да зачем притягивать лишнюю сущность "расстояние" там, где достаточно обойтись "углами".

Дело вкуса. Обращаю только внимание на то, что понимание геометрического смысла задачи -- как минимум не менее важно, чем умение формально манипулировать векторами. А что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудалённых от -- дело достаточно святое.

[_hum_]

Ясно, у нас просто разные первичные определения биссектрисы. У меня оно не связано с расстоянием, а именно: биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла. О расстояниях тут ни слова.

[ewert]

_hum_ в сообщении #674206 писал(а):

Ясно, у нас просто разные первичные определения биссектрисы.

Дело не в определениях. Дело в том, что свойство, связанное с расстояниями -- принципиально важно. И раз уж оно позволяет найти решение быстрее и надёжнее, чем тупо исходя из определения, то лучше его и использовать. Хотя и тупо тоже не грешно. Вообще чем бОльшим количеством разных способов умеешь решать одну и ту же задачу (а для аналитической геометрии подобное разнообразие довольно характерно) -- тем лучше.

[_hum_]

ewert в сообщении #674210 писал(а):

Дело в том, что свойство, связанное с расстояниями -- принципиально важно.

Никто не спорит.

ewert в сообщении #674210 писал(а):

И раз уж оно позволяет найти решение быстрее и надёжнее, чем тупо исходя из определения, то лучше его и использовать.

А вот тут вы неправы. Это учебная задача, а значит, создана для того, чтобы в первую очередь научить новым приемам решения. Потому и относиться к ней надо не так как вы предлагаете - "абы решить". А расстояние в данной задаче, на мой взгляд, лишнее понятие. Измените ее немного, попросив пройти плоскость под другими углами и все, приехали.

[ewert]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #674218 писал(а):

Потому и относиться к ней надо не так как вы предлагаете - "абы решить".

Я этого не предлагал. Я лишь говорил, что творческий подход к решению (а через расстояния оно более творчески) -- вещь полезная. И даже через пучок плоскостей, как предлагал мат-ламер, решить тоже полезно, хотя и несколько противно. Вообще полезно если даже довести до конца, то хоть наметить несколько разных путей решения.

[_hum_]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #674221 писал(а):

Я этого не предлагал. Я лишь говорил, что творческий подход к решению (а через расстояния оно более творчески) -- вещь полезная.

ИМХО, подобное решение (через расстояния) скорее относится к "решению в лоб", потому как является ничем иным как решением методами школьной стереометрии. Ничего принципиально нового в нем нет (в отличие от оперирования нормальными векторами).

[ewert]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #674229 писал(а):

ИМХО, подобное решение (через расстояния) скорее относится к "решению в лоб", потому как является ничем иным как решением методами школьной стереометрии.

Ну так и решение через нормальные векторы -- тоже вполне школьное. В нём нет ничего, кроме теоремы об общих перпендикулярах, равнобедренных треугольников и ещё чего-то там. Что в лоб, что по лбу.

Ещё раз: задачи надо уметь решать не "как положено", а как можно более разнообразно. Вот тут есть как минимум три способа решения. В стандартной задаче о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми -- тоже как минимум три разных и при этом весьма идейных способа. В задаче о нахождении центра описанной вокруг треугольника окружности -- как минимум два абсолютно идейных способа. И т.д. И все эти способы крайне желательно если даже и не помнить, то хотя бы понимать.

[_hum_]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #674234 писал(а):

Ну так и решение через нормальные векторы -- тоже вполне школьное. В нём нет ничего, кроме теоремы об общих перпендикулярах, равнобедренных треугольников и ещё чего-то там. Что в лоб, что по лбу.

Кхм...Ну, может, у вас в школе и учат геометрические объекты наподобие плоскости и прямой ассоциировать с векторами и манипулировать первыми через манипуляции вторыми, но в мою бытность такого не было. И для меня это яыилось открытием, так как позволило переводить задачу на язык векторного исчисления, которое, с одной стороны, очень наглядно, а с другой, вкупе со скалярным произведением позволяет решать задачи и на "вычисление расстояний" .

[ewert]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #674246 писал(а):

Ну, может, у вас в школе и учат геометрические объекты наподобие плоскости и прямой ассоциировать с векторами и манипулировать первыми через манипуляции вторыми, но в мою бытность такого не было.

Ну так и формулы для расстояния от точки до плоскости в школе тоже нет, и формула эта -- по происхождению абсолютно векторная. Или у вас принято формулы только зубрить, но никак не выводить?...

[_hum_]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #674251 писал(а):

Ну так и формулы для расстояния от точки до плоскости в школе тоже нет, и формула эта -- по происхождению абсолютно векторная. Или у вас принято формулы только зубрить, но никак не выводить?...

Ладно, пустой спор. Я свое мнение высказал - для меня умение манипулировать плоскостями посредством манипулирования их нормальными векторами - это новый взгляд на вещи и помощь в решении задач. Для вас - нет. Ну, и замечательно.

[ewert]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #674269 писал(а):

для меня умение манипулировать плоскостями посредством манипулирования их нормальными векторами - это новый взгляд на вещи и помощь в решении задач. Для вас - нет.

Для меня он тоже новый, ну или был, или ывает каждый год. Однако на практических занятиях я считаю обязательным подходить к задачам -- не ко всем, но хотя бы к части из них -- с разных сторон. Это расшевеливает мозги и воспринимается обычно положительно. На лекциях это, в принципе, тоже неплохо было бы, но там просто дефицит времени, на практике же можно позволить себе некоторые вольности. А спор -- согласен, что пустой.

[Nacuott]

Сначала пронормировав, затем сложив и вычтя направляющие векторы, заданных плоскостей, получим направляющие векторы искомых плоскостей.