Разрывность ряда Фурье.

[Rubik]

Добрый день! Пусть $S(x)$ - тригонометрический ряд Фурье, представляющий некую функцию $f(x)$ на интервале $[-L, L]$. По теореме о сходимости триг. ряда Фурье его значение $S(x)$ совпадает с $f(x)$ во всех точках, где $f(x)$ непрерывна, и $S(x_0)=\frac12(f(x_0-0)+f(x_0+0))$ в точках разрыва первого рода. В окрестности этой f(x) непрерывна, а значит $S(x_0-0)=f(x_0-0)$, $S(x_0+0)=f(x_0+0)$. Из этого следует, что ряд $S(x)$ также испытывает разрыв первого рода в точке разрыва $f(x)$. Верно ли это? Спасибо.

[ewert]

Rubik в сообщении #673703 писал(а):

Верно ли это?

Верно.

[Rubik]

Спасибо, просто я с преподавателем не смог прийти к единому мнению по поводу этого вопроса.

[nikvic]

Rubik в сообщении #673703 писал(а):

По теореме о сходимости триг. ряда Фурье его значение $S(x)$ совпадает с $f(x)$ во всех точках, где $f(x)$ непрерывна

Нет такой теоремы - ряд может и расходиться.

[ewert]

Rubik в сообщении #673743 писал(а):

просто я с преподавателем не смог прийти к единому мнению по поводу этого вопроса.

Ну, возможно, Вы просто не поняли, чего он от Вас добивается. Придраться в Вашем тексте есть к чему. Во-первых, к формальной безграмотности: $S(x)$ -- это не ряд, а сумма ряда. Во-вторых, функция непрерывна не в окрестности точки разрыва, а в односторонних полуокрестностях этой точки. В-третьих, условия теоремы Дирихле сформулированы неточно. Однако это -- лишь формальные дефекты, и если их восполнить, то утверждение само по себе окажется, конечно, верным, причём тривиально верным.