Китайские олимпиады

[Edward_Tur]

Найти все непустые множества целых чисел $S$ такие, что $3m-2n \in S$ для всех (не обязательно различных) $m, n \in S$.

[provincialka]

Множества $S$ принадлежат к одному из трех типов.
1. Одноэлементные множества.
2. Арифметические прогрессии, бесконечные в обе стороны.
3. Арифметические прогрессии, из которых "выкинуто" каждое третье число.

Идея доказательства. Первый пункт, очевидно, подходит. Пусть в множестве $S$ есть хотя бы 2 элемента. Рассмотрим пару чисел из $S$, расстояние между которыми минимально (Обозначим его $d$). Заметим, что ко всем элементам множества можно прибавлять одно и то же число, поэтому, используя подходящий сдвиг можем считать, что выбранные элементы имеют вид $d$ и $2d$. Применяя основное свойство, из них можно последовательно получить числа $4d, -d, 5d, -2d$. Выбирая за "базисные" пары $4d, 5d$ и $-d, -2d$ можно продолжать последовательность влево и вправо. Заметим, что каждое новое число можно записать в виде $nd + 3(m - n)d$, так что новые числа будут иметь вид $kd$, где k не делится на 3.
Если в множестве есть хотя бы одно число вида $3ld $, то и все числа такого вида в него входят.

Могут ли в множество $S$ входить числа не из построенной арифметической прогрессии ? Нет, так как это противоречило бы минимальности $d$.

Доказательство не подробное, потому что ночь