Найти ядро оператора A

[Alex992]

Не могу понять как найти ядро

[CptPwnage]

Ядро это те функции $x(t)$ которые переходят в $0$ под действием оператора, тут имеем $\int^t_0 x(\tau) d\tau + x(t)=0$, заметим что если подставить $t=0$ получим $x(0)=0$, теперь дифференцируем это выражение по $t$ и получаем диффур $x+x'=0$ с тем начальным условием

[provincialka]

CptPwnage в сообщении #673102 писал(а):

теперь дифференцируем это выражение по $t$ и получаем диффур $x+x'=0$ с тем начальным условием

Вообще-то оператор задан на пространстве непрерывных функций, а не дифференцируемых. Впрочем, функция $x(t) = -\int_0^tx(\tau)d\tau$ как интеграл от непрерывной функции будет дифференцируема.

[ewert]

provincialka в сообщении #673104 писал(а):

Вообще-то оператор задан на пространстве непрерывных функций, а не дифференцируемых

Однако если функция принадлежит именно ядру, то она точно дифференцируема, и даже непрерывно. Угадайте, почему.

[provincialka]

ewert в сообщении #673105 писал(а):

Однако если функция принадлежит именно ядру, то она точно дифференцируема, и даже непрерывно. Угадайте, почему.

Я уже исправила свое сообщение. Просто об этом неплохо упомянуть.

[CptPwnage]

Цитата:

Кстати в доказательстве леммы Дюбуа-Реймона из вариационного исчисления используется такое же соображение

[Alex992]

CptPwnage в сообщении #673102 писал(а):

Ядро это те функции $x(t)$ которые переходят в $0$ под действием оператора, тут имеем $\int^t_0 x(\tau) d\tau + x(t)=0$, заметим что если подставить $t=0$ получим $x(0)=0$, теперь дифференцируем это выражение по $t$ и получаем диффур $x+x'=0$ с тем начальным условием

C чего вы это берете? x - это же какая - то произвольная функция, может она 0 переведет во что - то другое

[CptPwnage]

Если подставить в это уравнение $t=0$ получим $\int^0_0 (...)+x(0)=0$, значит $0+x(0)=0$

[Alex992]

CptPwnage в сообщении #673127 писал(а):

Если подставить в это уравнение $t=0$ получим $\int^0_0 (...)+x(0)=0$, значит $0+x(0)=0$

Точно, спасибо. И всем кто отписался тоже, спасибо.