Решить в натуральных числах

[rewoger]

Решить в натуральных числах

$(10n+4)^2(10n+5)+1=m^2$

[temp03]

Обозначим $10n+4=k$, тогда исходное уравнение примет вид $k^2(k+1)+1=m^2$ или
$k^2(k+1)=m^2-1=(m+1)(m-1)$
Т.к. $m+1$ и $m-1$ общим множителем могут иметь только 2, а $k^2$ и $(k+1)$ взаимно простые, а также замечая, что правую часть можно преобразовать как $(m+1)(m-1)=p(p+2)$, где $p$ - чётно, то решений нет.

[nnosipov]

temp03 в сообщении #673576 писал(а):

Т.к. $m+1$ и $m-1$ общим множителем могут иметь только 2, а $k^2$ и $(k+1)$ взаимно простые, а также замечая, что правую часть можно преобразовать как $(m+1)(m-1)=p(p+2)$, где $p$ - чётно, то решений нет.

Вот здесь у Вас, скорее всего, ошибка. Напишите очень подробно, на каком основании сделан вывод об отсутствии решений.

[Shadow]

заодно проверьте $k=4,m=9$

[temp03]

да ошибка

[lim0n]

Т.к. $m$ нечётно, после замены $m=2k+1$ имеем $(5n+2)^2\cdot (10n+5)=k(k+1)$. В левой части равенства множители разной чётности, из решения двух систем уравнений получаем единственное решение $n=0,m=9$. Т.к. ноль не является натуральным числом, приведённое выше решение верно?

[TOTAL]

lim0n в сообщении #674499 писал(а):

из решения двух систем уравнений получаем

Каких систем?

[lim0n]

Пусть $k$ чётно, тогда $k=(5n+2)^2,k+1=10n+5=(5n+2)^2+1$...
Пусть $k$ нечётно, тогда $k=10n+5,k+1=(5n+2)^2=10n+6$...

[TOTAL]

lim0n в сообщении #674508 писал(а):

Пусть $k$ нечётно, тогда $k=10n+5,k+1=(5n+2)^2=10n+6$

Пусть $k$ нечётно, тогда $k=12345 \cdot (10n+5),k+1=(5n+2)^2/12345$