Мощность множества

[Mitrius_Math]

Нужно доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке $[a,b]$, конечно или счётно. Как это сделать? И как монотонная функция может иметь точки разрыва? Тогда она кусочно монотонна.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[TOTAL]

Скачков на $1$ не больше, чем $f(b) - f(a)$ и т.д.

[ewert]

Каждая точка разрыва задаёт некоторый интервал на оси игреков, и эти интервалы не пересекаются.

[mihailm]

В учебнике прочитать, навскидку Рудин Основы матана

[0_menge]

1. Докажите, что монотонная функция на интервале если и имеет точки разрыва, то только 1го рода.
2. Докажите, что если $x_{1}$ и $x_{2}$ - точки разрыва монотонной (возрастающей, для определенности) функции на интервале, то промежутки $(f(x_{1}-0), f(x_{1}+0))$ и $(f(x_{2}-0), f(x_{2}+0))$ не пересекаются.
3. Теперь каждой точке разрыва $x$ ставим в соответствие $(f(x-0), f(x+0))$, а дальше пользуемся тем, что пересечение $(f(x-0), f(x+0))\bigcap\mathbb Q$ непусто.