Зацикливающаяся последовательность

[Ktina]

(по мотивам задачи А. Храброва)

В последовательности целых чисел первый член произвольный, а каждый следующий задан формулой

$$ \begin{cases} a_{n+1}=\frac{a_n}{2}\quad\text{если предыдущий член чётен} \\ a_{n+1}=(a_n)^2-13 \quad\text{если нечётен} \end{cases} $$

При каких значениях первого члена эта последовательность с некоторого места станет периодической?

[Руст]

Если $a_n$ нечетное, то следующее нечетное число $a_{n+3}=\frac{a_n^2-13}{4}$. Если это нечетное не меньше 7, то последовательность нечетных будет расти монотонно.
Поэтому последовательность ограничена и периодична только если $a_0=\pm 2^km, m=1,3,5$.

[Ktina]

Руст
Только нуль забыли, но это мелочи жизни.