2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вторая аксиома счетности и сепарабельность
Сообщение13.01.2013, 23:52 
Помогите, пожалуйста, разобраться -- какие из предложенных пространств удовлетворяют 2 аксиоме счетности, а какие - сепарабельны?

1) Антидискретное пространство
2) Дискретное пространство
3) Топология стрелка
4) Топология Зарисского на прямой
5) Метрическая топология на плоскости

5) Можно в качестве базы выбрать шары рационального радиуса, тогда отображение будет инъективно. И сепарабельно, так как воторая аксиома счетности для метрических пространств равносильна сепарабельности.

1) Антидискретное пространство. Ну там база состоит из 2 множеств $X,\varnothing$. Значит 2 аксиома удовлетворяется, если отображение $X\to \mathbb{N}$ иньективно. А как узнать про это? Сепарабельность же тоже выполняется, так как $X$ - всюду плотное множество, если отображение инъективно.

2) Дискретная топология. 2 аксиома удовлетворяется, если отображение $X\to \mathbb{N}$ иньективно.А как узнать про это? Сепарабельность же тоже выполняется, так как $X$ - всюду плотное множество, если отображение инъективно.

А как с остальными быть, с дискретной и антидискретной топологией уже не все гладко....

 
 
 
 Re: Вторая аксиома счетности и сепарабельность
Сообщение14.01.2013, 18:26 
Пятый пункт: о каком отображении идет речь? Вот возьмете Вы все шары рационального радиуса, и сколько же их получится?
Вы умеете доказывать равносильность сеперабельности и наличия счетной базы в метрических пространствах?

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group