Вторая аксиома счетности и сепарабельность

[integral2009]

Помогите, пожалуйста, разобраться -- какие из предложенных пространств удовлетворяют 2 аксиоме счетности, а какие - сепарабельны?

1) Антидискретное пространство
2) Дискретное пространство
3) Топология стрелка
4) Топология Зарисского на прямой
5) Метрическая топология на плоскости

5) Можно в качестве базы выбрать шары рационального радиуса, тогда отображение будет инъективно. И сепарабельно, так как воторая аксиома счетности для метрических пространств равносильна сепарабельности.

1) Антидискретное пространство. Ну там база состоит из 2 множеств $X,\varnothing$. Значит 2 аксиома удовлетворяется, если отображение $X\to \mathbb{N}$ иньективно. А как узнать про это? Сепарабельность же тоже выполняется, так как $X$ - всюду плотное множество, если отображение инъективно.

2) Дискретная топология. 2 аксиома удовлетворяется, если отображение $X\to \mathbb{N}$ иньективно.А как узнать про это? Сепарабельность же тоже выполняется, так как $X$ - всюду плотное множество, если отображение инъективно.

А как с остальными быть, с дискретной и антидискретной топологией уже не все гладко....

[Chernoknizhnik]

Пятый пункт: о каком отображении идет речь? Вот возьмете Вы все шары рационального радиуса, и сколько же их получится?
Вы умеете доказывать равносильность сеперабельности и наличия счетной базы в метрических пространствах?