Найдите уравнение по корню.

[Vvp_57]

Найдите пожалуйста коэффициенты уравнения восьмой степени,
если известно что это целые числа и есть корень этого уравнения:
$x=-1-\sqrt{2}-\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{8+4\sqrt{2}+2\sqrt{20+14\sqrt{2}}}$

[arseniiv]

(Читерство. Но подозреваю, вам нужно не решение, а ответ.)

Wolfram Mathematica 8 писал(а):

In[1]  :=  MinimalPolynomial[-1 - Sqrt[2] - Sqrt[4 + 2 Sqrt[2]] + Sqrt[8 + 4 Sqrt[2] + 2 Sqrt[20 + 14 Sqrt[2]]], x]
Out[1] :=  1 - 8 x - 28 x^2 + 56 x^3 + 70 x^4 - 56 x^5 - 28 x^6 + 8 x^7 + x^8

[Vvp_57]

arseniiv в сообщении #671262 писал(а):

(Читерство. Но подозреваю, вам нужно не решение, а ответ.)

Wolfram Mathematica 8 писал(а):

In[1]  :=  MinimalPolynomial[-1 - Sqrt[2] - Sqrt[4 + 2 Sqrt[2]] + Sqrt[8 + 4 Sqrt[2] + 2 Sqrt[20 + 14 Sqrt[2]]], x]
Out[1] :=  1 - 8 x - 28 x^2 + 56 x^3 + 70 x^4 - 56 x^5 - 28 x^6 + 8 x^7 + x^8

Нет, почему же. Хорошо бы увидеть и решение.

[arseniiv]

В том и читерство — нет у меня решения, а только ответ.

[Nemiroff]

Надо сделать гениальный трюк: "заметим, что наш корень есть $\tg\dfrac{\pi}{32}$".
Далее уже проще. Ну как проще - если заранее знаешь ответ, то можно подогнать решение.

[Vvp_57]

Nemiroff в сообщении #671345 писал(а):

Надо сделать гениальный трюк: "заметим, что наш корень есть $\tg\dfrac{\pi}{32}$".
Далее уже проще. Ну как проще - если заранее знаешь ответ, то можно подогнать решение.

Не нашел формулы для тангенса восьмикратного угла. Пришлось выводить:
$\tg \left(8a \right)=\frac{8\tg a-56\tg^3 a+56\tg^5 a-8\tg^7 a}{1-28\tg^2 a+70\tg^4 a-28\tg^6 a+\tg^8 a}$
если Вы имеете ввиду эту формулу, то за догадку спасибо, но хотелось бы такое решение которое не зависит от этого.

[nnosipov]

Vvp_57 в сообщении #671365 писал(а):

... но хотелось бы такое решение которое не зависит от этого.

Решение чего? Если этой задачи:

Vvp_57 в сообщении #671248 писал(а):

Найдите пожалуйста коэффициенты уравнения восьмой степени,если известно что это целые числа и есть корень этого уравнения: ...

то это делается стандартным способом. Как олимпиадная задача она интереса не представляет. Это обычная учебная задача.

[vmg]

Обозначим $1+\sqrt2=a$, тогда $3+2\sqrt2=a^2$, $4+2\sqrt2=a^2+1$, $20+14\sqrt2=a^2(a^2+1)$ и $x=-a-\sqrt{a^2+1}+\sqrt{2a^2+2+2a\sqrt{a^2+1}}$ - один из корней уравнения $x^2+2(a+\sqrt{a^2+1})x-1=0$. Далее, $x^2+2ax-1=-2\sqrt{a^2+1}x$ возводим в квадрат, и $x$ - один из корней уравнения $x^4+4ax^3-6x^2-4ax+1=0$. Далее, $x^4+4x^3-6x^2-4x+1=-4\sqrt2x(x^2-1)$ возводим в квадрат, и $x$ - один из корней уравнения $x^8+8x^7-28x^6-56x^5+70x^4+56x^3-28x^2-8x+1=0$.

[Vvp_57]

vmg
Большое спасибо!
Мне удалось дойти до уравнения $x^2+2(1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2})x-1=0$, но что делать дальше,
как найти еще три таких же уравнения? Теперь все ясно! Попробую на других уравнениях, у меня их очень много, и степенью больше.
Это уравнение выбрал из-за того что числа не большие.