Решить уравнение в натуральных числах

[Gornilo]

Уважаемые господа,
можно ли решить в натуральных числах уравнение:
$4Y^3=3X^2+1$?
Доказать как положительный , так и отрицательный результат.

[мат-ламер]

Допустим $X=2k+1$ (а иная чётность невозможна). Тогда уравнение сводится к $Y^3=(k+1)^3-k^3$, что невозможно. (подправил).

[nnosipov]

Это уравнение можно решить даже в рациональных числах (есть только тривиальные решения). Задача эквивалентна доказательству ВТФ для $n=3$.

[DjD USB]

мат-ламер в сообщении #671058 писал(а):

Допустим $Y=2n$ и $X=2k+1$ (а иная чётность невозможна). Тогда уравнение сводится к $n^3=(k+1)^3-k^3$, что невозможно.

А как же пара (1;1)?

[мат-ламер]

DjD USB в сообщении #671062 писал(а):

А как же пара (1;1)?

Во-первых, немного подправил. Во-вторых, случай $k=0$ я не учёл.

[DjD USB]

Вообще глупый вопрос какой-то. Спрашивается только существование, а оно очевидно.

[Gornilo]

Уважаемые господа,
я забыл предупредить об очевидном тривиальном решении:
$X=1, Y=1$.
В моем уравнении указаны величины$X, Y$. По всем правилам
алгебры это означает, что эти величины разные, в противном случае уравнение имело бы вид: $4X^3=3X^2+1$
И при $X=2k+1$ уравнение не преобразуется в уравнение
$Y^3=(k+1)^3-k^3$.
И манипуляции с числом $k=0$ не отвечают на
поставленный вопрос.
Надеюсь на более солидные доказательства без манипуляций
с числами $1, 0$. Кстати, в некоторых странах ноль
является цифрой, но не является числом, так как в переводе с
латинского "nullus"- означает никакой.

[nnosipov]

Gornilo в сообщении #671450 писал(а):

По всем правилам алгебры это означает, что эти величины разные

Интересно, это по каким таким правилам алгебры можно утверждать подобное?

Gornilo в сообщении #671450 писал(а):

И при $X=2k+1$ уравнение не преобразуется в уравнение
$Y^3=(k+1)^3-k^3$.

Неправда, преобразуется. Подставьте и убедитесь.

Gornilo в сообщении #671450 писал(а):

Надеюсь на более солидные доказательства без манипуляций
с числами $1, 0$.

Вам предложили целых два способа доказательства, ни один из которых Вы не поняли. Для начала постарайтесь осознать первый --- тот, в котором говорится о сведении к уравнению $Y^3=(k+1)^3-k^3$.

[Gornilo]

Если в уравнении $Y^3=(k+1)^3 - k^3$
раскрыть скобки, то получится:
$Y^3= 3k(k+1)+1$
Это уравнение не идентично моему уравнению.

[nnosipov]

Gornilo в сообщении #671940 писал(а):

Это уравнение не идентично моему уравнению.

А и не надо, чтобы было идентично, нужно, чтобы было равносильно. Умножьте обе части на $4$.

[Gornilo]

"Равносильным" является уравнение:
$(X+1)^3-(X-1)^3=(2Y)^3=2(3X^2+1)$
В задаче поставлен вопрос не о нахождении идентичных или
"равносильных" уравнений, а о том, имеет ли уравнение решение
в целых числах.

[Cash]

Решение $(1,1)$. Других нет. Почему - уже вам все рассказали.

[Gornilo]

Если форум согласится, что других решений моего уравнения нет, кроме $X=1, Y=1$, тогда я опубликую здесь на форуме элементарное доказательство теоремы Форма для степени $n=3$. В противном случае нет смысла его публиковать, т.к. вопрос доказуемости упрется в эту формулу.

[Cash]

Не получится, поскольку доказательство отсутствия решений $4Y^3=3X^2+1$ опирается на отсутствие решений у уравнения $Y^3=(k+1)^3 - k^3$ и наоборот.

[TOTAL]

Gornilo в сообщении #671450 писал(а):

В моем уравнении указаны величины$X, Y$. По всем правилам
алгебры это означает, что эти величины разные, в противном случае уравнение имело бы вид: $4X^3=3X^2+1$

В целых числах решите уравнение $X=Y$