Конечные разности и ненулевые условия Дирихле

[10110111]

Требуется решить уравнение Шрёдингера (для начала одномерное) с ненулевыми граничными условиями:

$$-\frac{\partial^2}{\partial x^2}\varphi+U\varphi=E\varphi; \varphi(a)=A ; \varphi(b)=B.$$

В случае нулевых гранусловий можно представить оператор дифференцирования в виде матрицы типа

$$-T=\frac{1}{h^2}\[\left(\begin{array}{cccc} -2&1&0&0\\ 1&-2&1&0\\ 0&1&-2&1\\ 0&0&1&-2 \end{array}\right)\]$$

,
а оператор U - в виде диагональной матрицы из $U_i$, и найти собственные числа и векторы суммы $T+U$.

А как ввести здесь ненулевые условия Дирихле?

[ewert]

10110111 в сообщении #670714 писал(а):

А как ввести здесь ненулевые условия Дирихле?

А вспомните, откуда бралась первая строчка этой первой матрицы (ну и аналогично последняя) в случае однородных граничных условий.

10110111 в сообщении #670714 писал(а):

PS: По-моему, тут сломался парсер

С парсером всё в порядке. Просто надо каждую формулу окружать долларами (а вот тегом как раз не обязательно).

-- Сб янв 12, 2013 16:23:19 --

Да, только сейчас обратил внимание:

10110111 в сообщении #670714 писал(а):

Требуется решить уравнение Шрёдингера (для начала одномерное) с ненулевыми граничными условиями:

Таких уравнений Шрёдингера не бывает.

[10110111]

Цитата:

А вспомните, откуда бралась первая строчка этой первой матрицы (ну и аналогично последняя) в случае однородных граничных условий.

Из уравнения $\partial_x^2 f_1\approx\frac{f_2-2f_1+q f_0}{h^2}$, где $q=0$.
С нулём тут всё легко. А вот что делать, если вместо $q f_0$ стоит просто $A$?

Цитата:

Таких уравнений Шрёдингера не бывает.

Конечно, из физических соображений напрямую не бывает :) Но у меня несколько иные причины решать уравнение Шрёдингера с такими гранусловиями.
Считайте это просто задачей Штурма-Лиувилля, если вас сильно коробит имя Шрёдингера в такой постановке задачи ;)

[ewert]

10110111 в сообщении #670731 писал(а):

$\partial_x^2 f_1\approx\frac{f_2-2f_1+q f_0}{h^2}$, где $q=0$.

А при чем тут какая-то $q$ (я уж не говорю про невесть откуда взявшуюся $f$)?

10110111 в сообщении #670731 писал(а):

Считайте это просто задачей Штурма-Лиувилля, если вас сильно коробит имя Шрёдингера

Вот как раз со Шрёдингером я бы ещё как-нибудь примирился бы, но со Штурмом-Лиувиллем -- ни в жисть. Поскольку из-за неоднородности граничных условий эта задача формально не описывается линейным оператором (в силу нелинейности его области определения) и, следовательно, понятия собственных чисел и векторов для неё не имеют смысла.

[10110111]

Цитата:

А при чем тут какая-то $q$ (я уж не говорю про невесть откуда взявшуюся $f$)?

В общем случае формула конечной разности для второй производной выглядит так:

$$\partial_x^2 f_i\approx \frac{f_{i+1}-2f_i+f_{i-1}}{h^2}$$

.
На краю при нулевых гранусловиях $f_{i-1}=0$, поэтому это можно представить как строку матрицы, "не берущей" из вектора его крайнее значение, т.е. имеющей соответствующий матричный элемент равным нулю. Тогда левый (и, по аналогии, правый) столбцы можно удалить вместе с крайними строками. Отсюда получается матрица из первого поста.

Цитата:

Вот как раз со Шрёдингером я бы ещё как-нибудь примирился бы, но со Штурмом-Лиувиллем -- ни в жисть. Поскольку из-за неоднородности граничных условий эта задача формально не описывается линейным оператором

Хм... ну а чем Шрёдингер лучше? Гамильтониан тоже должен быть линейным. Значит ли это, что нельзя эту задачу аппроксимировать уравнением на собственную систему матрицы?

Цитата:

(в силу нелинейности его области определения)

Вот этого я не очень понял. Что значит "нелинейная область определения"?

[ewert]

10110111 в сообщении #670762 писал(а):

Тогда левый (и, по аналогии, правый) столбцы можно удалить вместе с крайними строками.

Строки-то зачем удалять. А столбцы -- да, удаляются. Там. Ну а тут просто переносятся в правую часть.

10110111 в сообщении #670762 писал(а):

Что значит "нелинейная область определения"?

Задача на собственные числа -- это задача вида $Au=\lambda u,\ u\not\equiv 0,$ где $A$ -- некоторый линейный оператор (и это принципиально, что линейный). Линейность оператора подразумевает линейность его области определения, т.е. область определения должна представлять собой некоторое линейное пространство. Область определения дифференциального оператора задаётся его граничными условиями (ну и там ещё семечками). Неоднородность граничных условий нарушает эту линейность. Поэтому задача на собственные числа при неоднородных граничных условиях -- да, бессмысленна.