2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение16.01.2013, 19:22 
Хм ... Я имел в виду точную формулу для числа неприводимых многочленов данной степени, но, видимо, можно и так, по-простому.

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение17.01.2013, 06:24 
Аватара пользователя
Спасибо. У меня ещё 1 вопрос: Пусть $\Bbbk$- алгебраически замкнутое поле. Как показать, что Nullstelensatz эквивалантно утверждению: Пусть $\Bbbk[x_1,\ldots ,x_n]$- кольцо многочленов. Если идеал $(f_1,\ldots, f_k)$ не содержит $1$, то система $f_1=\ldots =f_k=0$ разрешима.

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение17.01.2013, 12:00 
Если эта система неразрешима, то $\mathrm{rad}(f_1,\dots,f_k)=I(V(f_1,\dots,f_k))=(1)$; но тогда и $(f_1,\dots,f_k)=(1)$.

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение18.01.2013, 20:00 
Аватара пользователя
Joker_vD
Понятно, спасибо! А верно ли, что по кольцу регулярных функций замкнутого множества $X\subset\mathbb{A}^n_\Bbbk$ можно восстановить само замкнутое множество?

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение19.01.2013, 00:13 
xmaister в сообщении #673368 писал(а):
Joker_vD
Понятно, спасибо! А верно ли, что по кольцу регулярных функций замкнутого множества $X\subset\mathbb{A}^n_\Bbbk$ можно восстановить само замкнутое множество?

Если поле алгебраически замкнутое, то можно восстановить с точностью до изоморфизма.

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение19.01.2013, 07:24 
Аватара пользователя
Каким образом?

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение19.01.2013, 11:03 
Посмотреть на максимальные (или простые) идеалы этого кольца, ввести на них топологию и, при желании, пучок регулярных функций.

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение20.01.2013, 07:54 
Аватара пользователя
Понял, т.е. вычисляем спектр (а как определить простой или максимальный?). Но таким способом не определено вложение ни в какое $\mathbb{A}^k$. Можно ли его определить?

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение20.01.2013, 10:18 
Что значит «как определить»? Это смотря что Вы считаете многообразием — подмножество точек или подсхему. Вложить в аффинное пространство легко: кольцо рациональных функций является конечно порожденной алгеброй над $k$, поэтому это фактор алгебры многочленов — вот и вложение.

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение20.01.2013, 17:33 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #674021 писал(а):
Это смотря что Вы считаете многообразием — подмножество точек или подсхему.

Я не знаю что такое многообразие. Я лишь знаю как определяется топология Зарисского в аффинном пространстве.
apriv в сообщении #674021 писал(а):
кольцо рациональных функций является конечно порожденной алгеброй над , поэтому это фактор алгебры многочленов — вот и вложение.

Не понял. Откуда известно, что спектр кольца будет гомеоморфен замкнутому подмножеству $\mathbb{A}^k$ для некоторого $k$

 
 
 
 Re: Кольца, локальные кольца
Сообщение20.01.2013, 22:17 
xmaister в сообщении #674152 писал(а):
Не понял. Откуда известно, что спектр кольца будет гомеоморфен замкнутому подмножеству $\mathbb{A}^k$ для некоторого $k$

Ежели это не просто кольцо, а конечно порожденная алгебра $A$ над полем $F$, то она изоморфна фактору алгебры многочленов $F[x_1,\dots, x_k]$ для некоторого $k$. Каноническая проекция $F[x_1,\dots,x_k]\to A$ — это и есть вложение спектра $A$ в аффинное пространство $\mathbb{A}^k$ над полем $F$.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group