Функциональный анализ

[Rich]

Докажите графически, что в пространстве $\mathbf{R}^2$ при $p>1$
функция $\rho(x):=(\sqrt[p]{|x_1|}+\sqrt[p]{|x_2|})^p$ $(x\in\mathbf{R}^2)$
не удовлетворяет третьей аксиоме нормы.

Надо трехмерную кривую рисовать?

[AKM]

Это, что ли: $\mathbb{R}^2$ ? Так исправьте, пока час не прошёл. Кнопка

-- 09 янв 2013, 22:43 --

\mr --- это было чьё-то персональное определение-сокращение, а не общечеловеческая команда.

-- 09 янв 2013, 22:47 --

Дали бы Вы народу подсказку какую-то, что ли, --- как им доказывать.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[ewert]

Rich в сообщении #669472 писал(а):

Надо трехмерную кривую рисовать?

Только не трёх-, а двух-. Да, полезно бы. Дело в том, что неравенство треугольника для некоего кандидата (ну или кандидатши) в норму равносильно выпуклости как бы шара, задаваемого этой гипотетически нормой. Ну а для столь явного выражения выпуклость или наоборот соответствующей области вполне очевидна.

[Rich]

Спасибо большое за помощь. Однако остались вопросы.Функция ведь от двух переменных, кривая пространственная, что представляет из себя двумерный график.Каким образом устанавливается равносильность?

[nikvic]

Rich в сообщении #669505 писал(а):

Функция ведь от двух переменных, кривая пространственная

Достаточно зафиксировать как единицу первую переменную и погонять вторую.

[Rich]

Спасибо. Верно ли ,что если зафиксировать первую переменную как 0, все получается проще т.к. выполняется равенство ,хотя функции не равны нулю?

[ewert]

Rich в сообщении #669523 писал(а):

Верно ли ,что если зафиксировать первую переменную как 0, все получается проще т.к. выполняется равенство ,хотя функции не равны нулю?

А ещё если восемнадцатую переменную зафиксировать -- так и ещё проще выйдет.

От Вас требовалась вполне конкретная вещь: проверить неравенство треугольника. Притом нестрогое (вообще говоря). И тут никаким словоблудием так просто не отделаешься: оно или есть -- или оно нет.

[Rich]

Неравенство треугольника должно выполняться для любых точек из области.Если подобрать точки для которых неравенство не выполняется,то найден контр-пример.Если фиксируя переменные -это удается сделать, то в чем ошибка ведь требуется доказать графически?

[ewert]

Так. Вы знаете, что такое норма?... Вы знаете, что такое шар, коль скоро задана норма?... Вы знаете, что такое выпуклость?... Вы знаете, что такое неравенство треугольника?... Вы что-то знаете?...

[Rich]

Спасибо Вам за помощь.Да, я знаю. Однако, я пока не совсем понимаю как Ваши ответы помогут графически решить эту задачу. Вы уверены ,что Вы правильно прочитали и поняли условия задачи?

[ewert]

Rich в сообщении #669549 писал(а):

Вы уверены ,что Вы правильно прочитали и поняли условия задачи?

Я -- абсолютно уверен. А вот Вы -- так и не нарисовали до сих пор тот "шар"?... -- Если нет, то плохо. Тогда Вы как минимум не понимаете геометрического смысла понятия нормы.

[Rich]

Я нарисовал шар, взяв (0,0) за центр,p=2, и взяв разные значения радиуса.В каждом случае, область внутри "шара",не является выпуклым множеством.Также от изменения центра, область внутри шара, не становилась выпуклым множеством.Как теперь доказать эквивалентность выполнения неравенства треугольника и выпуклости шара?