Корни полинома с рациональными коэффициентами.

[DLL]

Существует ли способ нахождения корней полинома с рациональными (целыми) коэффициентами?
Возможно, они должны принадлежать какому-то еще более узкому множеству...
Интересуют, именно точные методы.

[VAL]

DLL в сообщении #668783 писал(а):

Существует ли способ нахождения корней полинома с рациональными (целыми) коэффициентами?

Точные методы существуют только для полиномов степени не выше четвертой (или специального вида).

Цитата:

Возможно, они должны принадлежать какому-то еще более узкому множеству...
Интересуют, именно точные методы.

С нахождением рациональных корней проблем нет. Это должны быть дроби, числитель которых делит свободный член полинома, а знаменатель - его старший коэффициент (предполагается, что полином имеет целые, взаимно простые в совокупности коэффициенты).

Не сложно найти также корни исходного полинома, являющиеся корнями его множителей, имеющих степень не выше 4-й, при разложении исходного полинома над полем $\mathbb Q$.

[apriv]

VAL в сообщении #668788 писал(а):

Точные методы существуют только для полиномов степени не выше четвертой (или специального вида).

Почему? Для полиномов степени не выше четвертой корни выражаются в радикалах. Чем это точнее тета-функций, с помощью которых выражаются корни полиномов пятой степени?

[VAL]

apriv в сообщении #668805 писал(а):

VAL в сообщении #668788 писал(а):

Точные методы существуют только для полиномов степени не выше четвертой (или специального вида).

Почему? Для полиномов степени не выше четвертой корни выражаются в радикалах. Чем это точнее тета-функций, с помощью которых выражаются корни полиномов пятой степени?

Примерно тем же, чем интеграл, выраженный через элементарных функциях, лучше выраженного в специальных.
Иными словами, я согласен, что не лучше. Скорее, традиционнее.
А что касается "точнее". Полагаю, ответ выраженный в радикалах, имеет абсолютную точность и в этом смысле не может быть улучшен.

В общем, надо поинтересоваться, какая форма представления корней приемлима для ТС

[apriv]

VAL в сообщении #668828 писал(а):

Примерно тем же, чем интеграл, выраженный через элементарных функциях, лучше выраженного в специальных.

Я еще понимал, что такое «радикал», а вот что такое «элементарная функция», совершенно непонятно (у этого термина вроде бы нет общепринятого определения).

Цитата:

А что касается "точнее". Полагаю, ответ выраженный в радикалах, имеет абсолютную точность и в этом смысле не может быть улучшен.

А что означает «абсолютную точность»? Казалось бы, и для радикалов, и для тета-функций есть какие-то ряды, которые позволяют их вычислять; есть всякие красивые соотношение между ними, и т. д.

[VAL]

apriv в сообщении #668831 писал(а):

А что означает «абсолютную точность»?

Отсутствие округления.

Цитата:

Казалось бы, и для радикалов, и для тета-функций есть какие-то ряды, которые позволяют их вычислять; есть всякие красивые соотношение между ними, и т. д.

Еще раз. Не вижу предмета для спора. Просто сначала необходимо договориться какая-именно форма представления корней является приемлимой.
Например, выражение "наименьший вещественный корень полинома $x^9-6x^8+x^5-3x-1$" тоже является формой представления вполне конкретного корня данного полинома. Причем с абсолютной точностью. Но для многих конкретных нужд такое представление будет неудовлетворительным.

[nnosipov]

VAL в сообщении #668788 писал(а):

С нахождением рациональных корней проблем нет. Это должны быть дроби, числитель которых делит свободный член полинома, а знаменатель - его старший коэффициент (предполагается, что полином имеет целые, взаимно простые в совокупности коэффициенты).

Это так, если коэффициенты многочлена не слишком велики. А иначе что-то вроде алгоритма Берлекэмпа должно работать.

[VAL]

nnosipov в сообщении #668923 писал(а):

VAL в сообщении #668788 писал(а):

С нахождением рациональных корней проблем нет. Это должны быть дроби, числитель которых делит свободный член полинома, а знаменатель - его старший коэффициент (предполагается, что полином имеет целые, взаимно простые в совокупности коэффициенты).

Это так, если коэффициенты многочлена не слишком велики. А иначе что-то вроде алгоритма Берлекэмпа должно работать.

Ну, аглоритм Берлекэмпа (в сочетании с гензелевским подъемом) уместно применять для более общей задачи факторизации полинома над $\mathbb Q$. А если нужны только корни, а кандидатов слишком много, вполне можно ограничиться ситом по нескольким модулям.

[DLL]

Цитата:

Это так, если коэффициенты многочлена не слишком велики. А иначе что-то вроде алгоритма Берлекэмпа должно работать.

Это я так понимаю, речь идет о разложении полинома на неприводимые над полем $\mathbb Q$?

[VAL]

DLL в сообщении #670236 писал(а):

Цитата:

Это так, если коэффициенты многочлена не слишком велики. А иначе что-то вроде алгоритма Берлекэмпа должно работать.

Это я так понимаю, речь идет о разложении полинома на неприводимые над полем $\mathbb Q$?

Изначально речь шла о нахождении корней.
А потом (воспользовавшись отсутствием топикстартера) каждый заговорил о наболевшем