2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эл-т док-ва т. Кантора-Бернштейна
Сообщение08.01.2013, 11:16 


08/01/13
4
Конкретно интересует один кусок доказательства, приведённого авторами А.Х. Шень, Н.К. Верещагин
Выглядит он так:

Заметим, что пересечение всех множеств $A_i$ вполне может быть непусто: оно состоит из тех элементов, у которых можно сколько угодно раз брать $f$ - прообраз. Теперь можно сказать так: множество $A_0$ мы разбили на непересекающиеся слои $C_i =  A_i $ \ $ A_{i+1}$ и на сердцевину $C= \bigcap _i A_i.$

Конкретно говоря, интересует условие, почему именно может существовать сердцевина $C$
Остальная часть доказательства мне понятна
Полное доказательство:
На сайте(3. Лекция: Теорема Кантора - Бернштейна, страницы 1-2)
или
Скачать учебник(стр.19)
Экзамен 10ого :-)
Заранее спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Эл-т док-ва т. Кантора-Бернштейна
Сообщение08.01.2013, 12:27 
Заслуженный участник


08/01/12
915
noizy в сообщении #668734 писал(а):
Конкретно говоря, интересует условие, почему именно может существовать сердцевина $C$

А почему нет? Возьмите два непустых равномощных множества $A$ и $B$, биекции между ними $\varphi\colon A\to B$, $\psi\colon B\to A$, тогда $A_i=A$ для всех $i$, и сердцевина совпадает с $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эл-т док-ва т. Кантора-Бернштейна
Сообщение08.01.2013, 13:48 


08/01/13
4
[quote="apriv в сообщении #668766"][/quote]
И из каких элементов составляется $C$ в конкретном случае (по предположению), т.е. из от каких элементов можно бесконечно брать прообраз?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эл-т док-ва т. Кантора-Бернштейна
Сообщение08.01.2013, 14:08 
Заслуженный участник


08/01/12
915
По определению $C$ является пересечением всех $A_i$. Если $A_i=A$ для всех $i$, то и $C=A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эл-т док-ва т. Кантора-Бернштейна
Сообщение08.01.2013, 14:30 


08/01/13
4
apriv в сообщении #668806 писал(а):
По определению $C$ является пересечением всех $A_i$. Если $A_i=A$ для всех $i$, то и $C=A$.

Либо я чего-то совсем не понимаю, либо мыслю не в ту сторону
$A_i$ $\subset$ $A$, для которых $|A_i| = |A|$, но не обязательно равны $A_i = A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Эл-т док-ва т. Кантора-Бернштейна
Сообщение08.01.2013, 14:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
noizy в сообщении #668818 писал(а):
но не обязательно равны $A_i = A$

Но возможно -- этого и достаточно.

Ладно, вот пример, более соответствующий тем картинкам. Пусть $A_0=[-1;1],\ f(x)=x$ при $x<0$ и $f(x)=\frac{x}2$ при $x\geqslant0$. Что здесь будут представлять из сея $A_i,\;C_i$ и $C$?

Да, а самое главное -- вопрос изначально был праздным. Даже если бы фактически того $C$ и не могло бы существовать -- проще допустить его существование, чем пытаться опровергнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эл-т док-ва т. Кантора-Бернштейна
Сообщение08.01.2013, 17:27 


08/01/13
4
ewert в сообщении #668822 писал(а):
Но возможно -- этого и достаточно.
...


Спасибо большое, просто преподаватель требовательный, вот и разбираю каждый переход :-)
Да, в сердцевине $[-1;0]$, если правильно понимаю

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group