Оценки методом моментов и методом макс. правдоподобия

[Spickard]

Дана вероятность $P(x; a, b, c) = c(x-a), a \le x \le b$

Нужно методом моментов и методом макс. правдоподобия найти оценки для $a, b, c$

Как я понял, основываясь на том, что $$\int_a^b c(x-a) dx = 1$ получаем, что можно выразить $c$ как $c = \frac 2 {(a-b)^2}$
Отсюда, подставив вместо $c$ полученное равенство, получится что при решении Методом моментов можно использовать только 2 момента, но при их нахождении получается система из 2-х уравнений, из которых не получается найти искомые оценки.
Та же ситуация используя ММП.

Подскажите, пожалуйста, что я делаю неправильно и как нужно поступать? Или же оценки найти указанными способами невозможно?

[Евгений Машеров]

А что не получается при решении методом моментов?
Мне кажется, что выражение для матожидания Х можно получить очень просто, даже без вычислений, а для дисперсии вычисления нужны, но очень уж простые. И получив эти выражения и подставив в них первые два момента, получим очевидный ответ.
Да, с здесь "третий лишний", в смысле не является самостоятельным параметром, а выражается через a и b, так что двух моментов хватит.
А в чём сложность с ММП?

[--mS--]

Spickard в сообщении #668614 писал(а):

Дана вероятность $P(x; a, b, c) = c(x-a), a \le x \le b$

А что это за "вероятность"? Почему, интегрируя её, Вы хотите получить единицу?

[Spickard]

Подставляю в исходную формулу $c$. Получаю $P(x; a, b, c) = \frac 2 {(a-b)^2} (x-a), a \le x \le b$

При ММ получается следующее:
Нахожу моменты.
$m_1 = \int _a ^b (\frac {x^2*2}{(a-b)^2} - \frac {2ax}{(a-b)^2})dx$
$m_2 = \int _a ^b (\frac {x^3*2}{(a-b)^2} - \frac {2ax}{(a-b)^2})dx$
при решении интеграла не знаю как выразить нужные величины $a,b,c$ (возможно ли их вообще выразить?)

При ММП:
$L(\xi , a, b, c) = (\frac 2 {(a-b)^2})^n \prod _{k=1} ^n (\xi_k - a)$
$\ln L = n \ln (\frac 2 {(a-b)^2}) + \sum _{k=1} ^n \ln (\xi_k - a)$

Далее дифференцирую по $a, b$ и $c$ и опять не понятно как из этого выразить нужные величины. Помогите, пожалуйста, я уже не знаю как ещё можно это решить

-- 08.01.2013, 16:06 --

Евгений Машеров в сообщении #668737 писал(а):

А что не получается при решении методом моментов?
Мне кажется, что выражение для матожидания Х можно получить очень просто, даже без вычислений, а для дисперсии вычисления нужны, но очень уж простые. И получив эти выражения и подставив в них первые два момента, получим очевидный ответ.
Да, с здесь "третий лишний", в смысле не является самостоятельным параметром, а выражается через a и b, так что двух моментов хватит.
А в чём сложность с ММП?

Плотность распределения/вероятность для выборки $ \xi$

[--mS--]

Поверим, что Вы ничего не перепутали и это действительно плотность. Хотя я бы не исключала варианта функции распределения.

Ну, во-первых, первый и второй момент дают не более чем линейное и квадратное уравнения на $a$ и $b$. Просто следует сократить всё, что возможно. Уголком на $(b-a)^2 = b^2-2ab+a^2$ делить умеете?
Либо, для простоты, можно сдвинуть все с.в. на $a$: $\eta_i=\xi_i-a$. Матожидание и второй момент $\eta_1$ будет функцией только от $b-a$, и уравнения просто решаются. Решайте, сверим ответы. Например, $\mathsf E\xi_1-a = \dfrac{2(b-a)}{3}$.

ОМП не может быть найдена в явном виде и ищется только численно при данной числовой выборке. Для параметра $b$ никакое дифференцирование ни к чему: по $b$ функция правдоподобия монтонна при любом $a$. Поэтому $\hat b = X_{(n)}$. А вот ОМП для $a$ найти нельзя.

[Spickard]

--mS-- в сообщении #668847 писал(а):

Поверим, что Вы ничего не перепутали и это действительно плотность. Хотя я бы не исключала варианта функции распределения.

Ну, во-первых, первый и второй момент дают не более чем линейное и квадратное уравнения на $a$ и $b$. Просто следует сократить всё, что возможно. Уголком на $(b-a)^2 = b^2-2ab+a^2$ делить умеете?
Либо, для простоты, можно сдвинуть все с.в. на $a$: $\eta_i=\xi_i-a$. Матожидание и второй момент $\eta_1$ будет функцией только от $b-a$, и уравнения просто решаются. Решайте, сверим ответы. Например, $\mathsf E\xi_1-a = \dfrac{2(b-a)}{3}$.

ОМП не может быть найдена в явном виде и ищется только численно при данной числовой выборке. Для параметра $b$ никакое дифференцирование ни к чему: по $b$ функция правдоподобия монтонна при любом $a$. Поэтому $\hat b = X_{(n)}$. А вот ОМП для $a$ найти нельзя.

Понятно, сейчас попробую решить опираясь на ваши советы. Спасибо.

А какие существенные изменения произошли бы в случае, если это всё же функция распределения?

[Евгений Машеров]

Если бы это была функция распределения, задача ещё более бы упростилась. Тогда бы это оказалось равномерное распределение.
Чтобы ответить на вопрос, плотность ли это распределения, или функция, надо выяснить, что происходит вне отрезка [a, b]. Если там ноль - это плотность, и c выбирается так, чтобы интеграл от плотности был бы равен единице. Если слева ноль, а справа единица - это функция распределения. Скорее всего $c=\frac 1 {b-a}$

[Spickard]

2 момент $\eta$ у меня получился равным $\frac{(b-a)^{2}}{2}$. Это так?
Тогда 2 момент $\xi$ получается $\left ( \frac{2(b-a)}{3}+a \right )^{2} + \frac{(b-a)^2}{2} - \frac{2(b-a)}{3}$. Верно ли это?

[--mS--]

Первое - да, а второе - нет, конечно. Как это так получилось? $\mathsf E\xi^2 = \mathsf E(\eta+a)^2$, возводите в квадрат и раскрывайте скобки. Покажите, как Вы это делаете.

[Spickard]

Евгений Машеров в сообщении #668938 писал(а):

Если бы это была функция распределения, задача ещё более бы упростилась. Тогда бы это оказалось равномерное распределение.

К сожалению - это плотность.

--mS-- в сообщении #669061 писал(а):

Первое - да, а второе - нет, конечно. Как это так получилось? $\mathsf E\xi^2 = \mathsf E(\eta+a)^2$, возводите в квадрат и раскрывайте скобки. Покажите, как Вы это делаете.

Делал исходя из того, что $m_2(\eta) = (m_1(\eta))^2 + D\eta$, отсюда $ D\eta = \frac {(b-a)^2} 2 - \frac {2(b-a)} 3$
Далее, исходя из того, что дисперсия при смещении не меняется $D\eta = D\xi$ и уже исходя из формулы $m_2(\xi) = (m_1(\xi))^2 + D\xi$ получаю $m_2(\xi) = \left ( \frac{2(b-a)}{3}+a \right )^{2} + \frac{(b-a)^2}{2} - \frac{2(b-a)}{3}$

Если я правильно Вас понял, то нужно просто сделать $m_2(\xi) = (m_2(\eta) + a) ^2$ ? Вот в этом месте мне не совсем ясно что нужно сделать.

[--mS--]

Spickard в сообщении #669078 писал(а):

Делал исходя из того, что $m_2(\eta) = (m_1(\eta))^2 + D\eta$, отсюда $ D\eta = \frac {(b-a)^2} 2 - \frac {2(b-a)} 3$

А в квадрат первый момент возводить будем?

[Spickard]

--mS-- в сообщении #669099 писал(а):

А в квадрат первый момент возводить будем?

Прошу прощения, пропустил.

Тогда получается $ D\eta = \frac {(b-a)^2} 2 - \frac {4(b-a)^2} 9 = \frac {(b-a)^2} {18} = \sigma^2$

Система:
$ \sigma^2 = \frac {(b-a)^2} {18}$
$3m_1(\xi) = 2b-a$

далее
$ 3\sqrt 2 \sigma= b - a$ (1)
$3m_1(\xi) = 2b-a$ (2)

Вычтем (1) из (2) и вычтем 2*(1) из (2):
$b = 3(m_1 - \sqrt 2 \sigma)$
$a = 3(m_1 - 2 \sqrt 2 \sigma)$

Обозначим $m_1 = \frac 1 n \sum _{i = 1} ^n \xi_i = \xi_{m_1}$
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt {m_2 - m_1^2}$ => $\sqrt {\frac 1 n \sum_{i = 1} ^n \xi_i^2 - (\xi_{m_1})^2} = \sqrt {\frac 1 n \sum_{i = 1} ^n (\xi_i - (\xi_{m_1})^2} = \sqrt{S^2} = S$

В итоге подставляем:
$b = 3(\xi_{m_1} - \sqrt 2 S)$
$a = 3(\xi_{m_1} - 2 \sqrt 2 S)$

Такой ли должен быть ответ?
Ещё для этих оценок нужно построить доверительный интервал. Тут я совсем "не в теме". Помогите, пожалуйста.

[--mS--]

Spickard в сообщении #669122 писал(а):

$3m_1(\xi) = 2b-a$

Плюс.

С доверительными интервалами ничем не помогу. Во-первых, я не понимаю, что такое "построить доверительный интервал", когда есть два параметра. Во-вторых, чем дальше, тем больше мне кажется, что Вы решаете не ту задачу, которая поставлена. Ну и, наконец, в-третьих, мне стало казаться, что задача поставлена была не Вам, и решаете Вы её не для себя. А уж тут я вообще не помощник.

[Spickard]

--mS-- в сообщении #669130 писал(а):

С доверительными интервалами ничем не помогу. Во-первых, я не понимаю, что такое "построить доверительный интервал", когда есть два параметра. Во-вторых, чем дальше, тем больше мне кажется, что Вы решаете не ту задачу, которая поставлена. Ну и, наконец, в-третьих, мне стало казаться, что задача поставлена была не Вам, и решаете Вы её не для себя. А уж тут я вообще не помощник.

Для себя. Возможно, что просто задача поставлена преподавателем не полностью. А я в силу неопытности не замечаю недостатков.
В любом случае спасибо за помощь! Вы мне помогли.

[Евгений Машеров]

Если это плотность - то первый момент находится без вычислений (хотя чуть сложнее, чем в случае равномерного распределения, которое получается, если бы заданная формула выражала бы функцию распределения, в том случае матожидание было бы простым средним арифметическим a и b), он соответствовал бы центру тяжести треугольника, изображающего график плотности распределения, и был бы равен $\frac 1 3 a + \frac 2 3 b$.
Для нахождения второго момента можно начать с получения второго начального момента, умножив плотность на x и проинтегрировав, а затем выразив второй центральный момент АКА дисперсию через второй начальный и квадрат первого момента.
А вот насчёт доверительных интервалов... Это либо очень нетривиальная задача (и неясно, насколько Вы её сможете решить, если в простейшем случае у Вас проблемы), либо Вам давали какие-то простые асимптотические оценки, и воспользоваться надо ими.