3 дроби

[Sinoid]

Задача. Доказать, что если действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=1$, то при любом натуральном $n$ $\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)^{2n+1}+\left(\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}\right)^{2n+1}+\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)^{2n+1}=1 $. Я взял уравнение условия, умножил на $abc$, перенес все в одну часть. Обозначим это выражение через (А). А в другой части 0. Далее, выразив (А) через основные симметрические многочлены, я получил $\sigma_{1}^{3}-4\sigma_{1}\sigma_{2}+8\sigma_{3}=0$, откуда заключил отсутствие у (А) симметричных делителей. А дальше?

[arqady]

Там есть несимметрические и не один.

[Руст]

Ваше условие $\sigma_1^3-4\sigma_1\sigma_2+8\sigma_3=0$ правильное, но лучше получать более прозрачное непосредственно или преобразовать его к виду:

$$(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=0.$$

В этом случае два выражения равны 1, одно -1.

[Sinoid]

Мне уже попадалась подобная задача, надо было доказать, что если для некоторых $a,b,c$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$, то при любом нечетном натуральном $n$ $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$. Здесь условие свелось к виду $(a+b)(b+c)(c+a)=0$, из которого и видно решение.