Вычислить предел

[Руст]

Пусть последовательность определена рекурентно $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$.
Докажите, что существует предел $\lim_{n\to \infty}x_n$ тогда и только тогда, когда $-2<x_1<1$.
Вычислить предел с точностью до $0.1$ в случае $x_1=1-10^{-10}$.

[sup]

Рассмотрим лишь случай $x_1 > 0$ (случай отрицательных $x_1$ после небольшой возни сводится к положительным).

Пусть $x_1 \geqslant 1$. По индукции легко показать, что $x_n \geqslant n$, а значит предела нет.
Пусть $0 < x_1 < 1$. По индукции легко показать, что $x_n \leqslant nx_1$. Далее
$\frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_{n+1}} = \frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+1}x_n} = \frac{x_n}{n^2 x_{n+1}} = \frac{1}{n^2 + x_n} \leqslant \frac{1}{n^2 }$
Суммируя, отсюда для $m > n$ получим
$\frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_m} \leqslant \frac{n+1}{n^2}$
Или
$\frac{1}{nx_1} - \frac{n+1}{n^2} \leqslant \frac{1}{x_m} $
Если $n$ достаточно велико, то левая часть положительна. А значит последовательность ограничена сверху (фиксируем $n$ и рассматриваем $m > n$).