2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 стационарное ур-е непрерывности + ур-е Пуассона
Сообщение07.01.2013, 14:06 
Аватара пользователя
Товарищи,

помогите идейно с задачей.
Физическая часть:
плазма находится в эл.ст. поле (геометрия - цилиндрическая), нужно определить:
- профили концентраций электронов $n_e(z,r)$, ионов $n_i(z,r)$ (азимутальная симметрия)
- распределение потенциала $\varphi(z,r)$

Математическая часть:
В общем случае система уравнений такова
$$
\left \{
\begin{array}{ll}
 \frac {\partial n_e}{\partial t}  +  \vec{ \nabla } \cdot \vec{ \Gamma }_e = 0        & (1)    \\ 
  \frac {\partial n_i}{\partial t}  +  \vec{ \nabla } \cdot \vec{ \Gamma }_i = 0          & (2)     \\ 
  \Delta \varphi = - \frac {e} {\varepsilon _0} \cdot \left (    n_i - n_e    \right )             & (3)
\end{array}
\right.
$$

условия на границе:
$ n_{e} (0,r) = n_{e0} $
$ n_{i} (0,r) = n_{i0} $
значение потенциала \varphi на границах задано

Потоки частиц

% electron flux
$$
\vec{\Gamma}_e = - \mu_e \cdot n_e \cdot \vec{E} - D_e \cdot \vec{\nabla} n_e \eqno (4)
$$

% ion flux
$$
\vec{\Gamma}_i =  \mu_i \cdot n_i \cdot \vec{E} - D_i \cdot \vec{\nabla} n_i \eqno (5)
$$

Напряженность поля
$$
 \vec{\nabla} \cdot  \vec{E} = \frac{e}{\epsilon _0} \cdot \left (     n_i - n_e   \right  )  \eqno (6)
$$


$$ (3) \Leftrightarrow (6) $$

В стационарном случае
$$ 
\frac { \partial n_e }{ \partial t } = 0, \quad
\frac { \partial n_i }{ \partial t } = 0
$$

Система ур-й, которую нужно решить численно
$$
\left \{
\begin{array}{ll}

\mu_e \cdot \left  (  \left  (  \vec{\nabla} n_e  \right  ) \cdot \vec{E} + n_e \cdot \left  (  \vec{\nabla} \cdot \vec{E} \right  )  \right  )
																 + D_e \cdot \Delta n_e = 0      & (7)    \\ 
 \mu_i \cdot \left  (  \left  ( \vec{\nabla} n_i  \right  )   \cdot  \vec{E} + n_i \cdot  \left  (  \vec{\nabla} \cdot \vec{E} \right  )  \right  )  
																  - D_i \cdot \Delta n_i = 0               & (8)     \\ 
  \Delta \varphi = - \frac {e} {\epsilon _0} \cdot \left (    n_i - n_e    \right )              & (3)

\end{array}
\right.
$$

Подставляем $(6)$ в $(7),(8)$
Получим окончательно
$$
\left \{
\begin{array}{ll}

 \left  (  \vec{\nabla} n_e  \right  ) \cdot \left  (  - \vec{\nabla} \varphi \right  ) + \frac{e}{\epsilon_0} \cdot  n_e \cdot  \left  (   n_i - n_e      \right  )  
										+ \frac{D_e}{\mu_e}  \cdot \Delta n_e = 0         				 & (9)    \\ 

 \left  ( \vec{\nabla} n_i  \right  )   \cdot  \left  (  - \vec{\nabla} \varphi \right  ) + \frac{e}{\epsilon_0} \cdot  n_i \cdot  \left  (  n_i - n_e \right  )     
													 - \frac{D_i}{\mu_i}  \cdot \Delta n_i = 0               & (10)     \\ 
  \Delta \varphi = - \frac {e} {\epsilon _0} \cdot \left (    n_i - n_e    \right )              & (3)

\end{array}
\right.
$$

Получили систему нелинейных ур-й в ЧП.
Далее, я записываю эти ур-я в конечных разностях (в цилиндрических координатах) и решаю методом Бройдена.
Но - решение расходится (норма вектора решения возрастает с каждой итерацией до переполнения).

Вопрос:
Кто-нибудь сталкивался с такими задачами? Как решали?
Может, хоть ссылками на соответствующие статьи/литературу поможете?
p.s.
картинка с хостинга не вставляется: "Не удалось определить размеры изображения"

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group