Теорема о существовании итерационного процесса k порядка

[alex7851]

Всем привет!
В природе существует теорема, которая гласит, что для заданного уравнения $f(x)=0$ всегда существует $\varphi_k(x)$ такое, что итерационный процесс $x_{n+1}=\varphi_k(x_{n})$ является процессом $k$-го порядка. Она доказывается примерно так (в моем представлении):
Будем считать, что для $f(x)$ выполняются требующиеся далее предположения о гладкости, дифференцируемости нужное число раз и существовании обратной функции. Пусть $y=f(x)$ и $g=f^{-1}$. Пусть $\alpha$ - корень исходного уравнения.
$\alpha = g(0) = g(y) + \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(-1)^i g^{(i)}(y)}{i!}y^i + r_k$
Второй знак равенства - разложение в ряд Тейлора чего-то в окрестности чего-то.
Положим $\varphi_k(x)=x + \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(-1)^i g^{(i)}(y)}{i!}y^i$.
Это и есть искомое $\varphi_k(x)$, ибо нетрудно видеть, что $\alpha=\varphi(\alpha)$.

Простой вопрос:
Используется разложение в ряд Тейлора какой функции и в какой окрестности? Я бы понял разложение $g(y)$ в окрестности $0$, но это больше похоже на разложение $g(0)$ в окрестности $y$.

Сложный вопрос:
Как малой кровью показать, что $x_{n+1}=\varphi_k(x_{n})$ является процессом $k$-го порядка, то есть $\varphi(x)$ удовлетворяет:
$\varphi'(\alpha) =\varphi''(\alpha)=...=\varphi^{(k-1)}(\alpha) = 0$ и $\varphi^{(k)}(\alpha) \neq 0$
Как бы я ни пытался, всегда выскакивают долгие выкладки и рассуждения.

[TOTAL]

alex7851 в сообщении #667698 писал(а):

Сложный вопрос:
Как малой кровью показать, что $x_{n+1}=\varphi_k(x_{n})$ является процессом $k$-го порядка, то есть $\varphi(x)$ удовлетворяет:
$\varphi'(\alpha) =\varphi''(\alpha)=...=\varphi^{(k-1)}(\alpha) = 0$ и $\varphi^{(k)}(\alpha) \neq 0$
Как бы я ни пытался, всегда выскакивают долгие выкладки и рассуждения.

Чтобы не влезать в долгие выкладки и рассуждения, можно действовать напрямую
(а не пытаться доказать достаточное условие):

$r_k=O(y_n^k)=O(f^k(x_n))=O(|x_n-a|^k)$