Функциональное уравнение

[xmaister]

Пусть $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$, такая что для всех $x,y\in\mathbb{R}_+$ $f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{2xy}{x+y}\right)=f(x)+f(y)$. Докажите, что $2f(\sqrt{xy})=f(x)+f(y)$ для всех $x,y\in\mathbb{R}_+$.

[Руст]

Без условия непрерывности или некоторого дополнительного (более слабого) условия приводящегося к этому утверждение неверно.
С условием непрерывности утверждение очевидно и общее решение $f(x)=a\ln x +b$.

[xmaister]

Руст в сообщении #667682 писал(а):

Без условия непрерывности или некоторого дополнительного (более слабого) условия приводящегося к этому утверждение неверно.

А каков контрпример?

[Руст]

Пусть $g(x)=f(\ln x), z=(\ln x +\ln y)/2, r=(\ln x-\ln y)/2$, тогда условие эквивалентно
$g(z+\ch r)+g(z-\ch r)=g(z+r)+g(z-r)$.
Можно взять некоторое $r_0>0$ и расширять подмножество чисел С взяв вначале $C_0=Qr_0$, далее линейные комбинации чисел вида $C_{i+1}=C_i+Q\ch x, x\in C_i$.
Определим $g(x)=x,x\in C, g(x)=0, x\not \in C$. Это определяет соответствующую функцию $f$.