Коллениарность векторов

[tokrvd]

(Оффтоп)

Условие задачи, побудившей непонимание: коллениарны ли векторы p и с, построенные по векторам a и b

• p=2a+4b
• c=3b-a
• a{1; -2; 3}
• b{3; 0; -1}

Цитата:

Общий вид задачи: Даны два вектора p=\alpha_1a+\beta_1b и q=\alpha_2a+\beta_2b, базис: a(x_a; y_a; z_a;) и b(x_b;y_b;z_b;). Коллениарны ли они?

Возник вопрос: Зачем в условии задачи даны координаты базисных векторов. Иначе: разве выбора базиса в N-мерном пространстве влияет на коллениарность векторов?

Ход рассуждений:
1. Пусть векторы p и q коллениарны в базисе a, b, то есть \alpha_1/\alpha_2=\beta_1/\beta_2=k
2. Посмотрим какие координаты будут иметь наши вектора p и q в декартовой системе, а точнее сравним их (на примере координаты х):
x_p=\alpha_1x_a+\beta_1x_b=k\alpha_2x_a+k\beta_2x_b
x_q=\alpha_2x_a+\beta_2x_b
3. Значит: x_p/x_q=k

То есть для решения изначальной задачи достаточно сравнить отношения коэффициентов альфа и бета, а координаты самих базисных векторов вроде как не нужны
Однако они были даны в условии задачи и сдается не просто так

Просьба ткнуть носом в ошибку

[AV_77]

Если отбросить координаты векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, то как из условия задачи (которое под спойлером) следует, что они не коллинеарны?

[tokrvd]

AV_77
2/(1) != 4/3

[AV_77]

При чем тут это? Если убрать координаты векторов $a$ и $b$, то откуда будет следовать, что, например, $p \neq 0$? Из каких условий вы получили, что $a$ и $b$ линейно независимы?

Возьмите $a = (2, 0, 0)$ и $b = (-1, 0, 0)$. Разве ничего не поменяется?

[tokrvd]

[AV_77]

Что это? Откуда следует, что векторы $a$ и $b$ линейно независимы?

[tokrvd]

AV_77
Простыми словами линейно-независимы, значит: если я изменю координаты b, то a не изменится?

[AV_77]

tokrvd в сообщении #667199 писал(а):

Простыми словами линейно-независимы, значит: если я изменю координаты b, то a не изменится?

Нет, $a$ и $b$ никак не связаны, это просто два каких-то вектора. Вы почему-то решили, что $a$ и $b$ составляют базис (в частности, линейно независимы) и дальше во всех своих рассуждениях это используете. Откуда это следует?

[tokrvd]

AV_77
Если векторы a и b линейно-зависимы, то ∃\gamma_1, \gamma_2: \gamma_1a+\gamma_2b=0 => a=-\gamma_2/\gamma_1*b =>p=\alpha_1*(-\gamma_2/\gamma_1)b+\beta_1b=(\alpha_1(-\gamma_2/\gamma_1)+\beta_1)b


то есть p=коэфициент*b,
иначе говоря в этом случае вектор p и вектор q все равно будут коллениарны, т.к. a//b.
по крайней мере мне так казалось

[main.c]

ТС, вы помните критерий коллинеарности?

[tokrvd]

[AV_77]

tokrvd в сообщении #667217 писал(а):

Но если два вектора линейно-зависимы то они компланарны в пространстве

Два линейно зависимых вектора коллинеарны.

[tokrvd]

Точнее ничего не понял, приму как должное

[main.c]

У вас есть два вектора, которые выражены через два вектора $a$ и $b$, есть координаты векторов $a$ и $b$, есть критерий коллинерности, который вы мне пару минут назад сами написали, что нужно теперь сделать с векторами $p$ и $q$, чтобы применить критерий коллинеарности?

[tokrvd]

main.c
Выразить вектора p и q в декартовых координатах и посмотреть их отношения. Но почему нельзя сделать это в координатах на оси-векторы a и b, не выражая вектора p и q в декартовых координатах