Два вопроса о треугольниках с целыми длинами сторон

[scwec]

1. Пусть дан треугольник с целыми длинами сторон. Известно, что синус одного из его внутренних углов равен $\frac{3}{5}$.
Может ли площадь этого треугольника быть квадратом целого числа?
2. Тот же вопрос, только синус одного из углов равен $\frac{4}{5}$.
Замечу, что для прямоугольных треугольников оба вопроса практически совпадают и ответ на них, очевидно, отрицательный.

[temp03]

По-моему, нет. Если там рассматривать по формуле Герона:
$p(p-a)(p-b)(p-c)=n^2$, то из взаимной простоты

$\begin{cases} p=n^2\\ p-a=m^2\\ p-b=k^2\\ p-c=w^2\\ \end{cases}$
Дальше если учесть, что $p=\dfrac{n_1x^2+n_2y^2+c}{2}$, где $n_1n_2=30$
То, по-моему, получается, что 3-я сторона $c$ должна быть пифагоровым числом (из требований Герона).
Т.е. стороны этого треугольника должны быть:
$\begin{cases} a=n_1x^2\\ b=n_2y^2\\ c=u^2-t^2\\ n_1n_2=30\\ \end{cases}$

Т.е. проблемно вообще построить треугольник с целыми сторонами и площадью-квадратом. Да ещё и синус между $a$ и $b$ должен быть $3/5$. С этим я вообще не знаю что делать

[Shadow]

И у меня не получается. Сначала условие 2: $\sin{\alpha}=\frac 4 5, \cos{\alpha}=\frac 3 5$

$\frac 1 2 ab \frac 4 5=s^2 \Rightarrow 2ab=5s^2$
$c^2=a^2+b^2-2ab\frac 3 5=(a-b)^2+2ab\frac 2 5=(a-b)^2+2s^2$

Параметризация:

$\\a-b=2p^2-q^2\\ s=2pq \Rightarrow 5s^2=20p^2q^2$
Тоесть:

$\\a-b=2p^2-q^2\\ ab=10p^2q^2$

Рассмотрел все варианты взаимнопростых, решений не обнаружил.
В первом варианте аналогично получил (если чего не перепутал):

$\\a-b=12p^2-q^2\\ ab=120p^2q^2$

[temp03]

Shadow в сообщении #667443 писал(а):

Тоесть:

$\\a-b=2p^2-q^2\\ ab=10p^2q^2$

Здорово! вы это придумали. А дальше так:
выражаем $a$ через $b$:
$a=2p^2-q^2 + b$, подставляем, получаем квадратное уравнение относительно $b$:
$b(2p^2-q^2 + b)-10p^2q^2=b^2+b(2p^2-q^2)-10p^2q^2=0$
Его дискриминант равен $4p^4+36p^2q^2+q^4=m^2$ должен быть точным квадратом. Это что-то близкое к $a^4+b^4=c^2$ - случай Ферма для $n=4$

[nnosipov]

temp03 в сообщении #667450 писал(а):

$4p^4+36p^2q^2+q^4=m^2$

Что-то не верится, что это уравнение можно просто решить. Впрочем, может быть есть какой-нибудь трюк.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #667455 писал(а):

Что-то не верится, что это уравнение можно просто решить. Впрочем, может быть есть какой-нибудь трюк.

Трюк вообще не раскрывать скобки $(2p^2-q^2)^2+40p^2q^2=z^2$

$\\2p^2-q^2=10u^2-v^2\\ pq=uv$
Нет решений и при $p=v, q=u$. Но и без этого уравнения можно проверить.

[scwec]

Shadow в сообщении #667443 писал(а):

И у меня не получается. Сначала условие 2: $\sin{\alpha}=\frac{4}{5},\cos{\alpha=\frac{3}{5}}$

Ну, а если $\cos{\alpha=-\frac{3}{5}}$

[lek]

Не квадрат ...

[scwec]

lek, здесь говорят о треугольниках. Если вы хотите поговорить о применении когомологий алгебр Ли в народном хозяйстве, то я к вашим услугам.

[Shadow]

Тупой угол...(жаль, что нет смайлик "застрелится")
$p=3q$ Стороны треугольника 9,10,17.

[lek]

scwec в сообщении #667105 писал(а):

Может ли площадь этого треугольника быть квадратом целого числа?

Речь об этом...

А вообще, если хотите, чтобы с вами общались умерьте гордыню уважайте оппонентов...

[scwec]

Shadow молодец. Не зря я за Вас голосовал, хоть Вы потом и отказались. Ну теперь $\frac{3}{5}$.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #667461 писал(а):

$\\2p^2-q^2=10u^2-v^2\\ pq=uv$

А как эту систему исследовать? Можно поподробнее?

[temp03]

nnosipov в сообщении #667455 писал(а):

temp03 в сообщении #667450 писал(а):

$4p^4+36p^2q^2+q^4=m^2$

Что-то не верится, что это уравнение можно просто решить. Впрочем, может быть есть какой-нибудь трюк.

А давайте попробуем:
$4p^4+36p^2q^2+q^4=m^2=(2p^2+q^2)^2+8\cdot4p^2q^2=m^2$ или даже
$(2p^2+q^2)^2+2\cdot(4pq)^2=m^2$ - здесь это не имеет значения.

Как и подсказывает Shadow, делаем разбивку системой (всё же первый случай удобнее):
$\begin{cases} 2p^2+q^2=a^2-8b^2\\ pq=ab \end{cases}$

Дальше к сожалению надо возиться и проверять множители по типу $a=p_1$, $b=p_2q$, т.е. $ab=p_1p_2q=pq$
Далее подставлять в первое:
$2p_1^2p_2^2+q^2=p_1^2-8p_2^2q^2$
Откуда $2p_2^2-1 \div q^2$
И так несколько случаев

[nnosipov]

Хотелось бы видеть полное доказательство отсутствия решений. Не понимаю, как здесь можно избежать применения метода спуска.