интересная задача по тфкп

[putin12]

Имеется полином ($P(z) = z^{n}+a_1z^{n-1}+...+a^{n}$),$ z,a_i$ -вообще говоря, комплексные и коэффициенты $a_i$ не обращаются в ноль одновременно. Требуется доказать, что хотя бы в одной точке окружности ($abs(z) = 1$), выполняется неравенство ($abs(P(z))>1$). Пожалуйста, подскажите идеи.

[gris]

Может быть как-нибудь через принцип максимума от противного? То есть построить точку, где.

[putin12]

gris в сообщении #666795 писал(а):

Может быть как-нибудь через принцип максимума от противного? То есть построить точку, где.

поподробней можете написать?

[ewert]

Нет, принцип максимума тут как-то не в тему, и даже теорема Руше как-то не дотягивает. Зато всё становится практически очевидным, если обратить внимание на то, что коэффициенты многочлена -- это коэффициенты Фурье функции $f(\varphi)=P(e^{i\varphi})$ на промежутке $[0;2\pi]$ (тогда доказываемое неравенство мгновенно следует из равенства Парсеваля).

[Oleg Zubelevich]

из принципа аргумента тоже следует

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #667330 писал(а):

из принципа аргумента тоже следует

Принцип аргумента $\approx$ теореме Руше, из которой непосредственно следует неравенство лишь нестрогое. А как строгое?...

[Oleg Zubelevich]

Даже не принцип аргумента, а принцип сохранения области.
$P(z)=z^n(1+Q(1/z)),\quad Q(0)=0$ где $Q$ -- многочлен.
$B=\{|z|<1\},\quad D=Q(B)$. Поскольку $0$ принадлежит $D$ вместе со своей окрестностью, найдется точка $w\in\partial D$ такая, что $w\in\mathbb{R},\quad w>0$. Соттветственно найдется точка $\tilde z\in\partial B$ такая, что $Q(\tilde z)=w.$

[nnosipov]

Эта задача может быть решена совершенно элементарно. Пусть $P(z)=z^n+f(z)$, где $f(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0 \neq 0$. Предположим, что $|P(z)| \leqslant 1$ для всех $z$, таких, что $|z|=1$. Возьмём произвольное $c$, такое, что $|c|=1$, и рассмотрим точки $z_k=c\zeta_k$, где $\zeta_k$ --- корни из единицы $n$-й степени. Тогда

$$ |nc^n+na_0|=\left|\sum_{k=1}^n P(z_k)\right| \leqslant \sum_{k=1}^n |P(z_k)| \leqslant n, $$

откуда $|c^n+a_0| \leqslant 1$. Поскольку $c$ произвольно, получим $a_0=0$. А дальше можно рассуждать по индукции.