2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 21:02 


27/12/12
39
Задача: Докажите, что дробно - линейные функции вида $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, где $a,b,c,d \in F, ad \ne bc$ (F - поле), образуют группу относительно композиции.
Пробовал решать:
1) Проверил замкнутость. Пусть $z(x)=\frac{ax+b}{cx+d}, w(x)=\frac{nx+m}{kx+l}$, тогда $z(w(x))=\frac{a(\frac{nx+m}{kx+l})+b}{c(\frac{nx+m}{kx+l})+d}=\frac{\frac{anx+am}{kx+l}+b}{\frac{cnx+cm}{kx+l}+d}=\frac{(an)x+(am+b)}{(cn)x+(cm+d)} $
2) Решил найти нейтральный элемент, вроде нашел $f(x)=x$, но встала проблема это не дробно - линейная функция(( Пробовал представить $f(x)=x$ как дробную функцию (опять же с линейностью проблемы $f(x)=\frac{x}{x^0}$).
3) Ну и обратный элемент, не зная нейтрального найти не смог(
Помогите разобраться пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 21:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8159
defolt87 в сообщении #666353 писал(а):
... нашел $f(x)=x$, но встала проблема это не дробно - линейная функция((
А почему Вы так считаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 21:11 


27/12/12
39
В знаменателе нет линейной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 21:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8159
А функция $0 \cdot x+1$ является линейной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 21:17 
Аватара пользователя


11/08/11
1122
В пункте 1) у вас самое последнее равенство неверно. Когда домножаете числитель и знаменатель на $k x+l$, то почему-то не умножаете на него же свободные члены $b$ и $d$.

По пункту 2) : $x = \frac {1 x +0} {0 x + 1}$. $ad-bc = 1 \ne 0$, так что это самое настоящее дробно-линейное и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 21:20 


27/12/12
39
Спасибо понял, ну раз написал пусть будет как есть)

-- 02.01.2013, 21:23 --

Значит линейные функции это функции с натуральной степенью при неизвестной не превосходящий 1?

-- 02.01.2013, 21:26 --

опять глупость написал. Если f(x)=kx+b, k - может принимать значения нуль, вот что хотел спросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 21:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Разумеется. Никаких ограничений на $k$ и $b$ в определении линейной функции не накладывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 21:31 


27/12/12
39
Мне стыдно перед вами многоуважаемые математики за глупые вопросы, но как говорится из песни слов не выкинешь(

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение02.01.2013, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
855
ЦФО, Россия
Эту задачку лучше решать не "в лоб", имхо. Разбиваем множество всех пар элементов поля на непересекающиеся подмножества условием, что отношение элементов каждой пары одинаково. Тогда действие невырожденной $2\times2$ матрицы на этих подмножествах (точнее, на представителях) эквивалентно действию дробно-линейной функции на "отношениях элементов". Из этой картинки групповые законы вылезают автоматически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение03.01.2013, 15:26 


27/12/12
39
Ух как оно все повернулось, спасибо попробую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение03.01.2013, 23:54 


27/12/12
39
1) А этих подмножеств будет не столько сколько элементов в поле? (ведь каждый элемент поля можно выразить в виде отношения двух других)
2) что такое действие невырожденной матрицы посвятите пожалуйста :cry:
3) элементами этих множеств будут пары?
4) если пары то элементы матрицы тоже будут парами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение04.01.2013, 04:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5728
Новосибирск
lek в сообщении #666393 писал(а):
Эту задачку лучше решать не "в лоб", имхо

Эка закрутили. А чем в лоб не нравится?
1) сразу было, 2) разъяснилось, осталось 3)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение04.01.2013, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
855
ЦФО, Россия
1) Столько, если добавить условие $y\ne0$ для $(x,y)$.
2) Записываете пару элементов (представитель выбранного подмножества) в виде столбца и действуете на него слева невырожденной $2\times2$ матрицей:
$$
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}
$$
Получаете пару элементов $(ax+by,cx+dy)$ из (вообще говоря) другого подмножества. Этому преобразованию однозначно (взаимно-однозначно, если определитель матрицы =1) соответствует дробно-линейное преобразование вида
$$
z\to f(z)=\frac{ax+by}{cx+dy},\quad\text{где}\quad z=\frac{x}{y}.
$$
(Чтобы это доказать достаточно заметить, что преобразование подмножеств не зависит от выбора представителей в них. Но это почти очевидно...)
3) Да.
4) Нет (см. выше).

Поскольку матрица невырожденная $ad\ne bc$, то множество всех таких преобразований (а значит и множество всех дробно-линейных преобразований) образует группу. (Очевидно, единица - единичная матрица, а обратный элемент - обратная матрица.)

bot в сообщении #666878 писал(а):
А чем в лоб не нравится?

Можно и в лоб, но пользы меньше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение04.01.2013, 12:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8159
bot в сообщении #666878 писал(а):
Эка закрутили.
Думается, здесь сама постановка задачи уже нуждается в комментариях. Если "дробно-линейная функция", то какова область определения такой функции? Как понимать композицию таких "функций"? Я бы стал говорить об элементах поля рациональных дробей $F(z)$ специального вида, на множестве которых введена операция композиции явной формулой. Но нужно осознавать, что такое рациональная дробь, и здесь от соответствующего отношения эквивалентности никуда не деться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп задача, дробно - линейные функции.
Сообщение04.01.2013, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5728
Новосибирск
Почему не деться? Смотрим на дробно линейное преобразование как на функцию на рсширенной плоскости, а формально-алгебраический подход со своей эквивалентностью пусть пока в сторонке покурит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group