Теория групп задача, дробно - линейные функции.

[defolt87]

Задача: Докажите, что дробно - линейные функции вида $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, где $a,b,c,d \in F, ad \ne bc$ (F - поле), образуют группу относительно композиции.
Пробовал решать:
1) Проверил замкнутость. Пусть $z(x)=\frac{ax+b}{cx+d}, w(x)=\frac{nx+m}{kx+l}$, тогда $z(w(x))=\frac{a(\frac{nx+m}{kx+l})+b}{c(\frac{nx+m}{kx+l})+d}=\frac{\frac{anx+am}{kx+l}+b}{\frac{cnx+cm}{kx+l}+d}=\frac{(an)x+(am+b)}{(cn)x+(cm+d)} $
2) Решил найти нейтральный элемент, вроде нашел $f(x)=x$, но встала проблема это не дробно - линейная функция(( Пробовал представить $f(x)=x$ как дробную функцию (опять же с линейностью проблемы $f(x)=\frac{x}{x^0}$).
3) Ну и обратный элемент, не зная нейтрального найти не смог(
Помогите разобраться пожалуйста.

[nnosipov]

defolt87 в сообщении #666353 писал(а):

... нашел $f(x)=x$, но встала проблема это не дробно - линейная функция((

А почему Вы так считаете?

[defolt87]

В знаменателе нет линейной функции.

[nnosipov]

А функция $0 \cdot x+1$ является линейной?

[INGELRII]

В пункте 1) у вас самое последнее равенство неверно. Когда домножаете числитель и знаменатель на $k x+l$, то почему-то не умножаете на него же свободные члены $b$ и $d$.

По пункту 2) : $x = \frac {1 x +0} {0 x + 1}$. $ad-bc = 1 \ne 0$, так что это самое настоящее дробно-линейное и есть.

[defolt87]

Спасибо понял, ну раз написал пусть будет как есть)

-- 02.01.2013, 21:23 --

Значит линейные функции это функции с натуральной степенью при неизвестной не превосходящий 1?

-- 02.01.2013, 21:26 --

опять глупость написал. Если f(x)=kx+b, k - может принимать значения нуль, вот что хотел спросить.

[arseniiv]

Разумеется. Никаких ограничений на $k$ и $b$ в определении линейной функции не накладывается.

[defolt87]

Мне стыдно перед вами многоуважаемые математики за глупые вопросы, но как говорится из песни слов не выкинешь(

[lek]

Эту задачку лучше решать не "в лоб", имхо. Разбиваем множество всех пар элементов поля на непересекающиеся подмножества условием, что отношение элементов каждой пары одинаково. Тогда действие невырожденной $2\times2$ матрицы на этих подмножествах (точнее, на представителях) эквивалентно действию дробно-линейной функции на "отношениях элементов". Из этой картинки групповые законы вылезают автоматически.

[defolt87]

Ух как оно все повернулось, спасибо попробую.

[defolt87]

1) А этих подмножеств будет не столько сколько элементов в поле? (ведь каждый элемент поля можно выразить в виде отношения двух других)
2) что такое действие невырожденной матрицы посвятите пожалуйста
3) элементами этих множеств будут пары?
4) если пары то элементы матрицы тоже будут парами?

[bot]

lek в сообщении #666393 писал(а):

Эту задачку лучше решать не "в лоб", имхо

Эка закрутили. А чем в лоб не нравится?
1) сразу было, 2) разъяснилось, осталось 3)

[lek]

1) Столько, если добавить условие $y\ne0$ для $(x,y)$.
2) Записываете пару элементов (представитель выбранного подмножества) в виде столбца и действуете на него слева невырожденной $2\times2$ матрицей:

$$ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix} $$

Получаете пару элементов $(ax+by,cx+dy)$ из (вообще говоря) другого подмножества. Этому преобразованию однозначно (взаимно-однозначно, если определитель матрицы =1) соответствует дробно-линейное преобразование вида

$$ z\to f(z)=\frac{ax+by}{cx+dy},\quad\text{где}\quad z=\frac{x}{y}. $$

(Чтобы это доказать достаточно заметить, что преобразование подмножеств не зависит от выбора представителей в них. Но это почти очевидно...)
3) Да.
4) Нет (см. выше).

Поскольку матрица невырожденная $ad\ne bc$, то множество всех таких преобразований (а значит и множество всех дробно-линейных преобразований) образует группу. (Очевидно, единица - единичная матрица, а обратный элемент - обратная матрица.)

bot в сообщении #666878 писал(а):

А чем в лоб не нравится?

Можно и в лоб, но пользы меньше...

[nnosipov]

bot в сообщении #666878 писал(а):

Эка закрутили.

Думается, здесь сама постановка задачи уже нуждается в комментариях. Если "дробно-линейная функция", то какова область определения такой функции? Как понимать композицию таких "функций"? Я бы стал говорить об элементах поля рациональных дробей $F(z)$ специального вида, на множестве которых введена операция композиции явной формулой. Но нужно осознавать, что такое рациональная дробь, и здесь от соответствующего отношения эквивалентности никуда не деться.

[bot]

Почему не деться? Смотрим на дробно линейное преобразование как на функцию на рсширенной плоскости, а формально-алгебраический подход со своей эквивалентностью пусть пока в сторонке покурит.