Проводящий шарик в переменном электрическом поле

[ChaosProcess]

В общем, имеется шарик в переменном монохроматическом поле. Требуется найти энергопотери в этом шарике, т.е. для начала найти поля и токи внутри. Допустим, вещественные проницаемости все единицы. Пишем уравнения Максвелла и связи(на ток смещения я забиваю, пускай он много меньше обычных токов:

$$\operatorname{rot}\mathbf{H}=\frac {4\pi} {c}\mathbf{j}$$

$$\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}$$

$$\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\frac {1} {c}\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}$$

$$\operatorname{div}\mathbf{H}=\operatorname{div}\mathbf{E}=0$$

$$\mathbf{E}=\mathbf{E}e^{-i\omega t}; \mathbf{H}=\mathbf{H}e^{-i\omega t}$$

Рассматривая все это хозяйство в сферической системе координат, можно сделать следующие выводы о полях: у поля ненулевыми будут компоненты $E_{\theta}, E_{r}$ и $H_{\phi}$, причем они не будут зависеть от $\phi$. Далее, можно составить уравнение для одной из компонент, например ,$H_{\phi}$:

$$\Delta H_{\phi}=-\frac {4\pi\sigma i\omega}{c^2}H_{\phi}\Leftrightarrow \frac {1}{r^2}\frac {\partial}{\partial r}(r^2\frac {\partial H_{\phi}}{\partial r})+ \frac {1}{r^2\sin{\theta}}\frac {\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta}\frac {\partial H_{\phi}}{\partial \theta})-\frac {1}{r^2\sin^2\theta}}H_{\phi}=}=-\frac {4\pi\sigma i\omega}{c^2}H_{\phi}$$

И че делать дальше, не понимаю.

[profrotter]

Пахнет задачей дифракции. А потом нужно найти поток вектора Пойтинга, внутрь шарика он и определит среднюю мощность потерь:

$$P_{\text{п.ср}}=-\frac{1}{2}\operatorname{Re}\ointop\limits_{S}\dot{\overrightarrow{\text{П}}}\overrightarrow{dS},$$

где $\dot{\overrightarrow{\text{П}}}=\left[\dot{\overrightarrow{E_m}},\dot{\overrightarrow{H_m}}^*\right]$ - комплексный вектор Пойтинга на границе шара, $\dot{\overrightarrow{E_m}},\dot{\overrightarrow{H_m}}$ - комплексные амплитуды напряжённостей поля, $\overrightarrow{dS}=\overrightarrow{n^0}dS$, $\overrightarrow{n^0}$ - орт внешней нормали к поверхности шара.

Данных у вас не достаточно. Какое оно это монохроматическое электромагнитное поле? Плоская однородная волна? Сферическая волна? С этим придётся определяться.

[ChaosProcess]

Просто однородное колеблющееся электрическое поле. Как между обкладками конденсатора в цепи переменного тока.
Изложу свои размышления. Похоже, точно решить задачу не удастся, поэтому можно рассмотреть 2 предельных случая: большого и малого по сравнению с радиусом шарика скин-слоя. Если скин-слой велик, тогда можно считать электрическое поле внутри также однородным и считать потери как $jE^2$. Если скин-слой мал, то можно считать, что поле - и электрическое, и вихревое магнитное, сосредоточены в небольшом приповерхностном слое и потом мутить Пойнтинга. Но тогда неясно, как оценить толщину слоя. Кроме того, я хотел бы все же строго математически решить задачу, но никаких формул для решения Гельмгольца, кроме сложных интегральных, нигде, в том числе, и в Тихонове-Самарском не нашел. Буду рад услышать любые разумные соображения.

[profrotter]

ChaosProcess в сообщении #666285 писал(а):

Просто однородное колеблющееся электрическое поле. Как между обкладками конденсатора в цепи переменного тока.

А не бывает такого. Когда электрическое поле внутри кондесатора становится переменным, возникает связанный с ним ток смещения, а ему соотвествтует и магнитное поле. Так что поле между обкладками конденсатора в цепи переменного тока обязано быть электромагнитным, а вовсе не электрическим и будет представлять собою линейную комбинацию собственных волн (полей) структуры, которая образует конденсатор.

Если интересно, собственные волны структуры из двух бесконечных параллельных проводящих плоскостей рассмотрены в учебнике Никольский, Никольская Электродинамика и распространение радиоволн.

О задаче дифракии смотрим главу 8 учебника Техническая электродинамика / Ю.В. Пименов, В.И. Вольман, А.Д. Муравцов Под. ред. Ю.В. Пименова. - М.: "Радио и связь", 2000.

О потерях в проводнике там же параграф 7.8.2 и близлежащие параграфы.

С шариком плохо. Чую пахнет там трёхмерным уравнением Гельмгольца.

[ChaosProcess]

profrotter в сообщении #666513 писал(а):

А не бывает такого. Когда электрическое поле внутри кондесатора становится переменным, возникает связанный с ним ток смещения, а ему соотвествтует и магнитное поле. Так что поле между обкладками конденсатора в цепи переменного тока обязано быть электромагнитным, а вовсе не электрическим и будет представлять собою линейную комбинацию собственных волн (полей) структуры, которая образует конденсатор.

Ну я же уже написал в первом посте, что на ток смещения забиваем. В металлах это можно сделать почти всегда, потому что проводимость велика. Кроме того, я могу поставить абстрактную задачу о переменном однородном электрическом поле без всяких конденсаторов.

profrotter в сообщении #666513 писал(а):

С шариком плохо. Чую пахнет там трёхмерным уравнением Гельмгольца.

Вот-вот. А вы знаете, как в явном виде получить решение - без интегралов? Я не особо силен в урматах, решал Гельмгольца только для скаляров.

-- Чт янв 03, 2013 12:10:31 --

profrotter в сообщении #666513 писал(а):

О задаче дифракии смотрим главу 8 учебника Техническая электродинамика / Ю.В. Пименов, В.И. Вольман, А.Д. Муравцов Под. ред. Ю.В. Пименова. - М.: "Радио и связь", 2000.

Там рассматривается цилиндр. Его решить значительно проще, чем шарик. В том числе и посчитать потери.

[profrotter]

ChaosProcess в сообщении #666519 писал(а):

Там рассматривается цилиндр.

Прежде всего там рассматривается задача дифракции, которую Вы никак не можете или не хотите поставить. Где внешнее поле? Где выражения для соответствующих векторов поля?

Ток смещения не в шарике, а в полости конденсатора. Это поле для шарика является внешним. Что происходит внутри шарика вообще никого не волнует. Первое упрощение будет касаться как раз того, что шарик будет рассматриваться идеальным проводником. Потом, после решения идеализированной задачи можно будет с использованием приближённых граничных условий Леонтовича найти вектор напряжённости магнитного поля на границе шарика, откуда и потери. Как это сделать написано в учебнике, который я указал, где-то рядом с параграфом 7.8.2.

Не знаю можете Вы поставить абстракную задачу или нет. В том смысле, что перед её постановкой наверное следует убедиться, что переменное электрическое поле, о котором Вы говорите, при нулевом магнитом поле, является решением системы уравнений Максвелла. Ведь векторы напряжённости электрического и магнитного монохроматического поля между собою как-то связаны. Но вам, конечно, виднее.

Где-то я видел решение задачи дифракции на проводящем шаре, но то ,возможно, была диссертация. Не помню точно, попробуйте поиск на фамилию Пермяков.

[ChaosProcess]

profrotter в сообщении #666532 писал(а):

Прежде всего там рассматривается задача дифракции, которую Вы никак не можете или не хотите поставить.

Да нет тут никаких волн. В указанной вами литературе рассматривается задача рассеяния плоской волны цилиндром. Ну а здесь, если вам будет удобнее так рассматривать, волновой вектор равен 0. Внешнее поле жестко задано: $\mathbf{E}=\mathbf{E_0}e^{-i\omega t}$

profrotter в сообщении #666532 писал(а):

Что происходит внутри шарика вообще никого не волнует.

Как это не волнует? А как же токи считать?

profrotter в сообщении #666532 писал(а):

Первое упрощение будет касаться как раз того, что шарик будет рассматриваться идеальным проводником.

Это предельный случай сильного скин-эффекта. А если он слабый и поле глубоко проникает внутрь проводника?

profrotter в сообщении #666532 писал(а):

Не знаю можете Вы поставить абстракную задачу или нет. В том смысле, что перед её постановкой наверное следует убедиться, что переменное электрическое поле, о котором Вы говорите, при нулевом магнитом поле, является решением системы уравнений Максвелла. Ведь векторы напряжённости электрического и магнитного монохроматического поля между собою как-то связаны. Но вам, конечно, виднее.

Скажем так, меня не сильно интересует то, что происходит вне шарика. Там жестко заданное однородное электрическое поле. Конечно там будет возникать вихревое магнитное, но оно получается и при решении задачи внутри шарика, а потом применения гран условий.
Так все-таки, вы не знаете, как решить трехмерного Гельмгольца? Это, в общем-то, единственная трудность.

[profrotter]

ChaosProcess в сообщении #666549 писал(а):

вы не знаете, как решить трехмерного Гельмгольца

К сожалению нет. Не смогу вам больше помочь.

[ChaosProcess]

profrotter в сообщении #666532 писал(а):

Не помню точно, попробуйте поиск на фамилию Пермяков.

Что-то такое и вправду есть. Только, похоже, скачать ничего не удастся

[V.V.]

Какое условие на границе сферы?
Т.е. хорошо бы написать уравнения и граничные условия, чтобы было что решать.

[ChaosProcess]

На границе: $E_{\theta}=E_0sin{\theta}; E_{r}=E_0cos{\theta}$. Для $H_{\phi}$ соотвествующие условия для функции и производных по $\theta$ и $r$ получатся из ротора.

[BISHA]

ChaosProcess в сообщении #666193 писал(а):

Требуется найти энергопотери в этом шарике

А проще, через мощность. Определить сопротивление, действующее значение напряжения, .....?

[ChaosProcess]

BISHA в сообщении #666968 писал(а):

Определить сопротивление, действующее значение напряжения, .....?

У меня итоговая задача - найти активное сопротивление. Поэтому находим мощность потерь и делим ее на квадрат токов.

-- Пт янв 04, 2013 13:10:55 --

ChaosProcess в сообщении #666959 писал(а):

На границе: $E_{\theta}=E_0sin{\theta}; E_{r}=E_0cos{\theta}$. Для $H_{\phi}$ соотвествующие условия для функции и производных по $\theta$ и $r$ получатся из ротора.

На самом деле там гран условия Леонтовича на $H_{\phi}$. Похожая задача разбирается на стр. 540-541 Тих.-Сам., только я там не понимаю ничего. Как он так ввел функцию $U$, как выписал уравнение на нее и как его решил?

[Alex-Yu]

ChaosProcess в сообщении #666549 писал(а):

Внешнее поле жестко задано: $\mathbf{E}=\mathbf{E_0}e^{-i\omega t}$

Ну тогда квазистатическое приближение (считаем шарик идеально проводящим) а потом возмущение с приближенными граничными условиями Леонтовича-Щукина. Поверхностный ток в квазистаической задаче легко находится (просто воспользуйтесь законом сохранения заряда и выразите ток через квазистатическую плотность поверхностного заряда). Зная ток, получаете тангенциальное магнитное поле на поверхности (как поправку). Этого достаточно чтобы дальше воспользоваться условиями Леонтовича-Щукина и найти поток энергии внутрь шара.

На счет нахождения тока. В силу аксиальной симметрии $\phi$-компоненты (в сферических координатах с полярной осью вдоль внешнего поля) тока не будет. И производных по $\phi$ тоже не будет. А тогда уравнение в частных производных превращается в обыкновенное диффуравнение.

[ChaosProcess]

Alex-Yu в сообщении #667006 писал(а):

ChaosProcess в сообщении #666549 писал(а):

Внешнее поле жестко задано: $\mathbf{E}=\mathbf{E_0}e^{-i\omega t}$

Ну тогда квазистатическое приближение (считаем шарик идеально проводящим) а потом возмущение с приближенными граничными условиями Леонтовича-Щукина. Поверхностный ток в квазистаической задаче легко находится (просто воспользуйтесь законом сохранения заряда и выразите ток через квазистатическую плотность поверхностного заряда). Зная ток, получаете тангенциальное магнитное поле на поверхности (как поправку). Этого достаточно чтобы дальше воспользоваться условиями Леонтовича-Щукина и найти поток энергии внутрь шара.

На счет нахождения тока. В силу аксиальной симметрии $\phi$-компоненты (в сферических координатах с полярной осью вдоль внешнего поля) тока не будет. И производных по $\phi$ тоже не будет. А тогда уравнение в частных производных превращается в обыкновенное диффуравнение.

Ммм... я, конечно, извиняюсь, но не могли бы вы написать это все формульно? Мне тяжело воспринять на словах, особенно по поводу обыкновенного дифф уравнения.